数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 4 解説

方針・初手

$z$ が原点中心・半径 $1$ の円周上を動くので、$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく。

軌跡が虚軸を交わる条件は、$w$ の実部が $0$ になることである。したがって、$w=2\sqrt{2}z-z^2$ の実部を $\theta$ で表し、それが $0$ となる $\theta$ の個数を数えればよい。

解法1

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく。ただし $0\leqq \theta<2\pi$ とする。

このとき、

$$ z^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta $$

であるから、

$$ w=2\sqrt{2}(\cos\theta+i\sin\theta)-(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

となる。

よって $w$ の実部は

$$ \operatorname{Re} w=2\sqrt{2}\cos\theta-\cos2\theta $$

である。

$w$ が虚軸上にある条件は $\operatorname{Re} w=0$ なので、

$$ 2\sqrt{2}\cos\theta-\cos2\theta=0 $$

を解けばよい。

ここで $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ を用いると、

$$ 2\sqrt{2}\cos\theta-(2\cos^2\theta-1)=0 $$

すなわち

$$ 2\cos^2\theta-2\sqrt{2}\cos\theta-1=0 $$

となる。

$t=\cos\theta$ とおくと、

$$ 2t^2-2\sqrt{2}t-1=0 $$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{(2\sqrt{2})^2+8}}{4} =\frac{2\sqrt{2}\pm4}{4} =\frac{\sqrt{2}\pm2}{2} $$

となる。

したがって、

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{2}+2}{2},\quad \frac{\sqrt{2}-2}{2} $$

であるが、

$$ \frac{\sqrt{2}+2}{2}>1 $$

であるため、これは $\cos\theta$ の値として不適である。

一方、

$$ -1<\frac{\sqrt{2}-2}{2}<1 $$

なので、

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{2}-2}{2} $$

は $0\leqq\theta<2\pi$ においてちょうど $2$ 個の解をもつ。

したがって、$z$ が円周上を $1$ 周するとき、$w$ の軌跡は虚軸を $2$ 回交わる。

解説

この問題では、軌跡そのものを直接描く必要はない。虚軸との交点だけを調べるので、$w$ の実部が $0$ になる条件に絞ればよい。

注意すべき点は、$z$ が単位円上を $1$ 周するため、$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおいたときの $\theta$ の範囲を $0\leqq\theta<2\pi$ として数えることである。また、二次方程式から得られた値のうち、$\cos\theta$ として取り得ない値を除外する必要がある。

答え

$2$ 回