数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 5 解説

方針・初手

$z=x+yi$ とおき、条件 $|z|=2$ を $x^2+y^2=4$ に直す。求めるのは

$$ |w|=\left|\frac{2z-i}{z+i}\right| $$

の最大値であるから、平方して $x,y$ で表し、$x^2+y^2=4$ を用いて $y$ だけの式にする。

解法1

$z=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数であり、

$$ x^2+y^2=4 $$

を満たす。

このとき

$$ 2z-i=2x+(2y-1)i $$

であるから、

$$ |2z-i|^2=4x^2+(2y-1)^2 $$

である。また、

$$ z+i=x+(y+1)i $$

より、

$$ |z+i|^2=x^2+(y+1)^2 $$

である。

したがって、

$$ |w|^2=\frac{|2z-i|^2}{|z+i|^2} =\frac{4x^2+(2y-1)^2}{x^2+(y+1)^2} $$

となる。ここで $x^2+y^2=4$ を用いると、分子は

$$ 4x^2+(2y-1)^2 =4x^2+4y^2-4y+1 =4(x^2+y^2)-4y+1 =17-4y $$

であり、分母は

$$ x^2+(y+1)^2 =x^2+y^2+2y+1 =5+2y $$

である。

よって

$$ |w|^2=\frac{17-4y}{5+2y} $$

となる。

点 $z$ は半径 $2$ の円周上を動くので、$-2\leqq y\leqq 2$ である。またこの範囲では

$$ 5+2y\geqq 1>0 $$

である。

ここで

$$ f(y)=\frac{17-4y}{5+2y} $$

とおくと、

$$ f'(y)=\frac{-4(5+2y)-2(17-4y)}{(5+2y)^2} =\frac{-54}{(5+2y)^2}<0 $$

である。

したがって $f(y)$ は $-2\leqq y\leqq 2$ で単調減少する。ゆえに $|w|^2$ が最大となるのは $y=-2$ のときである。

このとき円周上の条件 $x^2+y^2=4$ より、

$$ x^2+(-2)^2=4 $$

だから $x=0$ であり、$z=-2i$ である。

最大値は

$$ |w|^2=\frac{17-4(-2)}{5+2(-2)} =\frac{25}{1} =25 $$

であるから、

$$ |w|=5 $$

を得る。

解説

この問題では、$w$ そのものの描く図形を求める必要はない。最大にしたいのは $|w|$ であるから、まず絶対値の平方をとって実数式に直すのが最も直接的である。

$z=x+yi$ とおくと、円の条件 $x^2+y^2=4$ によって $x^2$ と $y^2$ をまとめられる。その結果、$|w|^2$ が $y$ だけの分数式になる。あとは $y$ の範囲 $-2\leqq y\leqq 2$ で単調性を調べればよい。

分母 $5+2y$ が常に正であることを確認しておく点が重要である。これにより、分数式の微分や大小比較を安全に行える。

答え

$$ \boxed{5} $$