数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 7 解説

方針・初手

$z$ を極形式で表すと、$z^2$ と $\dfrac{1}{z^2}$ の偏角がそれぞれ $2\theta$、$-2\theta$ となる。したがって、$w$ の実部は $|z|$ と $\arg z$ だけで整理できる。

解法1

$z \ne 0$ より、$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおく。ただし $r>0$ である。

このとき

$$ z^2=r^2(\cos 2\theta+i\sin 2\theta) $$

であり、また

$$ \frac{1}{z^2} =\frac{1}{r^2}(\cos(-2\theta)+i\sin(-2\theta)) =\frac{1}{r^2}(\cos 2\theta-i\sin 2\theta) $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} w &=z^2-\frac{1}{z^2} \\ &=r^2(\cos 2\theta+i\sin 2\theta) -\frac{1}{r^2}(\cos 2\theta-i\sin 2\theta) \\ &=\left(r^2-\frac{1}{r^2}\right)\cos 2\theta +i\left(r^2+\frac{1}{r^2}\right)\sin 2\theta \end{aligned} $$

となる。

よって、$w$ の実部は

$$ \operatorname{Re}w = \left(r^2-\frac{1}{r^2}\right)\cos 2\theta $$

である。これが正になる条件は

$$ \left(r^2-\frac{1}{r^2}\right)\cos 2\theta>0 $$

である。

ここで $r>0$ だから、

$$ r^2-\frac{1}{r^2}>0 \Longleftrightarrow r>1 $$

であり、

$$ r^2-\frac{1}{r^2}<0 \Longleftrightarrow 0<r<1 $$

である。

したがって、求める範囲は次の2つの場合に分かれる。

(i)

$r>1$ のとき

このとき

$$ \cos 2\theta>0 $$

であればよい。これは、複素平面上で実軸寄りの領域、すなわち

$$ |x|>|y| $$

に対応する。

(ii)

$0<r<1$ のとき

このとき

$$ \cos 2\theta<0 $$

であればよい。これは、複素平面上で虚軸寄りの領域、すなわち

$$ |y|>|x| $$

に対応する。

したがって、$z=x+iy$ とすれば、求める範囲は

$$ \begin{cases} x^2+y^2>1,\quad |x|>|y|,\\ \text{または}\\ 0<x^2+y^2<1,\quad |y|>|x| \end{cases} $$

である。

境界である単位円 $x^2+y^2=1$ および直線 $y=x,\ y=-x$ 上では $\operatorname{Re}w=0$ となるため、これらは含まない。また $z=0$ はもともと定義されないため含まない。

解法2

$z=x+iy$ とおく。ただし $(x,y)\ne(0,0)$ である。

まず

$$ z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi $$

である。また

$$ \begin{aligned} \frac{1}{z^2} &= \frac{1}{(x+iy)^2}\\ &= \frac{(x-iy)^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &= \frac{x^2-y^2-2xyi}{(x^2+y^2)^2} \end{aligned} $$

である。

したがって、$w=z^2-\dfrac{1}{z^2}$ の実部は

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re}w &=(x^2-y^2)-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ &=(x^2-y^2)\left(1-\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\right) \end{aligned} $$

である。

求める条件は

$$ (x^2-y^2)\left(1-\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\right)>0 $$

である。

ここで $x^2+y^2>0$ だから、

$$ 1-\frac{1}{(x^2+y^2)^2}>0 \Longleftrightarrow x^2+y^2>1 $$

であり、

$$ 1-\frac{1}{(x^2+y^2)^2}<0 \Longleftrightarrow 0<x^2+y^2<1 $$

である。

また

$$ x^2-y^2>0 \Longleftrightarrow |x|>|y| $$

であり、

$$ x^2-y^2<0 \Longleftrightarrow |y|>|x| $$

である。

よって

$$ \operatorname{Re}w>0 $$

となるのは、

$$ x^2+y^2>1,\quad |x|>|y| $$

または

$$ 0<x^2+y^2<1,\quad |y|>|x| $$

のときである。

解説

この問題では、$z^2$ と $\dfrac{1}{z^2}$ が同時に現れるため、極形式を用いると実部が簡潔に整理できる。

図示としては、単位円 $x^2+y^2=1$ と2直線 $y=x,\ y=-x$ を境界として考える。単位円の外側では実軸側の2つの領域、単位円の内側では虚軸側の2つの領域を塗ればよい。境界線はいずれも含まない。

答え

$z=x+iy$ とすると、求める範囲は

$$ \boxed{ \left\{(x,y)\mid x^2+y^2>1,\ |x|>|y|\right\} \cup \left\{(x,y)\mid 0<x^2+y^2<1,\ |y|>|x|\right\} } $$

である。

すなわち、単位円の外側では直線 $y=\pm x$ に挟まれた実軸側の領域、単位円の内側では直線 $y=\pm x$ に挟まれた虚軸側の領域である。ただし、単位円および2直線 $y=\pm x$ は含まない。