数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 15 解説

方針・初手

$w=\dfrac{z^2}{|z|}$ は、$z$ の偏角を $2$ 倍し、絶対値は $|z|$ のままにする変換である。したがって、$P,Q$ はともに原点からの距離が等しく、三角形の面積は偏角の差から求める。

解法1

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とする。ただし、虚部が正であるから

$$ r>0,\qquad 0<\theta<\pi $$

である。このとき

$$ |z|=r,\qquad z^2=r^2(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

より、

$$ w=\frac{z^2}{|z|} =r(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

となる。よって、$w$ の極形式は

$$ w=r(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

である。

次に、$P$ の位置ベクトルは偏角 $\theta$、長さ $r$ をもち、$Q$ の位置ベクトルは偏角 $2\theta$、長さ $r$ をもつ。したがって、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ のなす角に対応する正弦は

$$ \sin(2\theta-\theta)=\sin\theta $$

である。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ だから、$\triangle OPQ$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac12 r\cdot r\sin\theta =\frac12 r^2\sin\theta $$

である。

次に、$z=x+yi$ とおく。条件

$$ |z-4i|=2|z-i| $$

を座標で表すと、

$$ \sqrt{x^2+(y-4)^2} = 2\sqrt{x^2+(y-1)^2} $$

である。両辺を平方して、

$$ x^2+(y-4)^2 = 4{x^2+(y-1)^2} $$

となる。展開すると、

$$ x^2+y^2-8y+16 = 4x^2+4y^2-8y+4 $$

であり、整理して

$$ 3x^2+3y^2-12=0 $$

すなわち

$$ x^2+y^2=4 $$

を得る。

したがって、$z$ は原点中心、半径 $2$ の円周上を動く。虚部が正であるから、実際にはその上半分であり、極形式では

$$ r=2,\qquad 0<\theta<\pi $$

である。

よって、面積は

$$ \begin{aligned} S=\frac12 r^2\sin\theta &= \frac12\cdot 2^2\sin\theta\\ &= 2\sin\theta \end{aligned} $$

となる。$0<\theta<\pi$ において $\sin\theta$ の最大値は $1$ であり、これは $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに達する。

したがって、$\triangle OPQ$ の面積の最大値は

$$ 2 $$

である。

解説

$w=\dfrac{z^2}{|z|}$ は、絶対値を変えずに偏角だけを $2$ 倍する形になっている。このため、$OP=OQ=r$ となり、面積は長さ $r$ と偏角の差 $\theta$ だけで決まる。

また、条件 $|z-4i|=2|z-i|$ は、点 $z$ から $4i$ までの距離が、点 $z$ から $i$ までの距離の $2$ 倍であることを表す。座標計算により、これは円 $x^2+y^2=4$ となる。ここで虚部が正である条件を忘れず、$0<\theta<\pi$ として扱うことが重要である。

答え

(1)

$$ w=r(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

$$ \triangle OPQ=\frac12 r^2\sin\theta $$

(2)

$$ 2 $$