数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 14 解説

方針・初手

(1) は $-1$ を極形式で表す。 (2) は条件式を二乗して円の方程式に直し、その中心が原点になる条件を読む。 (3) は中点の関係 $w=\dfrac{z+i}{2}$ から、$z$ の円の方程式を $w$ の条件に変換する。

解法1

まず

$$ -1=\cos\pi+i\sin\pi $$

であるから、$z^4=-1$ の解は

$$ z=\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4} \quad (k=0,1,2,3) $$

である。したがって

$$ z=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right) \quad (k=0,1,2,3) $$

より、解は

$$ \frac{1+i}{\sqrt2},\quad \frac{-1+i}{\sqrt2},\quad \frac{-1-i}{\sqrt2},\quad \frac{1-i}{\sqrt2} $$

である。

次に、$\alpha$ をこれらの解の一つとする。このとき

$$ \alpha^4=-1 $$

より、特に

$$ |\alpha|=1 $$

である。

条件

$$ |z-\beta|=\sqrt2|z-\alpha| $$

を二乗すると、

$$ |z-\beta|^2=2|z-\alpha|^2 $$

である。複素数の絶対値の展開を用いると、

$$ |z|^2-\overline{\beta}z-\beta\overline{z}+|\beta|^2 = 2\left(|z|^2-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}+|\alpha|^2\right) $$

である。これを整理すると、

$$ |z|^2-(2\overline{\alpha}-\overline{\beta})z-(2\alpha-\beta)\overline{z} +2|\alpha|^2-|\beta|^2=0 $$

となる。

一般に、中心が $\gamma$ の円は

$$ |z-\gamma|^2=r^2 $$

すなわち

$$ |z|^2-\overline{\gamma}z-\gamma\overline{z}+|\gamma|^2-r^2=0 $$

と表される。したがって、上の円の中心は

$$ 2\alpha-\beta $$

である。

この円 $C$ の中心が原点であるためには、

$$ 2\alpha-\beta=0 $$

でなければならない。よって

$$ \beta=2\alpha $$

である。

このとき、条件式は

$$ |z-2\alpha|^2=2|z-\alpha|^2 $$

となる。展開すると

$$ |z|^2-2\overline{\alpha}z-2\alpha\overline{z}+4|\alpha|^2 = 2|z|^2-2\overline{\alpha}z-2\alpha\overline{z}+2|\alpha|^2 $$

であるから、

$$ |z|^2=2|\alpha|^2 $$

となる。$|\alpha|=1$ より、

$$ |z|=\sqrt2 $$

である。したがって、円 $C$ は原点を中心とする半径 $\sqrt2$ の円である。

最後に、$w$ は点 $i$ と点 $z$ を結ぶ線分の中点であるから、

$$ w=\frac{i+z}{2} $$

である。よって

$$ z=2w-i $$

である。

点 $z$ は円 $C$ 上を動くので、

$$ |z|=\sqrt2 $$

を満たす。これに $z=2w-i$ を代入すると、

$$ |2w-i|=\sqrt2 $$

である。さらに

$$ 2w-i=2\left(w-\frac{i}{2}\right) $$

より、

$$ 2\left|w-\frac{i}{2}\right|=\sqrt2 $$

したがって

$$ \left|w-\frac{i}{2}\right|=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

よって、点 $w$ の描く図形は、中心が $\dfrac{i}{2}$、半径が $\dfrac{\sqrt2}{2}$ の円である。

解説

(2) はアポロニウスの円の問題である。$|z-\beta|=\sqrt2|z-\alpha|$ は、点 $\beta$ からの距離と点 $\alpha$ からの距離の比が一定である点の軌跡を表す。これを複素数のまま展開すると、円の中心が $2\alpha-\beta$ と読める。

円 $C$ の中心が原点であるという条件は、中心 $2\alpha-\beta$ が $0$ であることに対応する。したがって $\beta=2\alpha$ が直ちに得られる。

(3) は、中点を取る変換

$$ w=\frac{z+i}{2} $$

によって、円 $|z|=\sqrt2$ が平行移動と縮小を受ける問題である。半径は $\dfrac12$ 倍され、中心 $0$ は $\dfrac{i}{2}$ に移る。

答え

(1)

$$ z=\frac{1+i}{\sqrt2},\quad \frac{-1+i}{\sqrt2},\quad \frac{-1-i}{\sqrt2},\quad \frac{1-i}{\sqrt2} $$

(2)

$$ \beta=2\alpha $$

(3)

$$ \left|w-\frac{i}{2}\right|=\frac{\sqrt2}{2} $$

すなわち、中心 $\dfrac{i}{2}$、半径 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ の円である。