数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 25 解説

方針・初手

$\alpha$ と $\beta$ をそれぞれ円周上の点として表す。

$$ \alpha=1+u,\quad |u|=1 $$

$$ \beta=i+v,\quad |v|=1 $$

とおくと、(1) は $u+v$ の存在範囲、(2) は $u(\beta-1)$ の存在範囲を考えればよい。

解法1

まず

$$ \alpha=1+u,\quad \beta=i+v $$

とおく。ただし

$$ |u|=1,\quad |v|=1 $$

である。

(1)

求める複素数を $z=\alpha+\beta$ とおくと、

$$ z=1+i+u+v $$

である。したがって $z-(1+i)=u+v$ の存在範囲を調べればよい。

$|u|=|v|=1$ より、三角不等式から

$$ |u+v|\leq |u|+|v|=2 $$

である。逆に、$0\leq r\leq 2$ を任意にとると、2つの単位ベクトル $u,v$ のなす角を適当に選ぶことで

$$ |u+v|=r $$

を実現できる。また、全体を回転させれば任意の偏角も実現できる。

したがって $u+v$ は原点中心、半径 $2$ 以下の円板全体を動く。

よって $\alpha+\beta$ の存在範囲は

$$ |z-(1+i)|\leq 2 $$

である。

これは中心 $1+i$、半径 $2$ の円およびその内部である。

(2)

求める複素数を

$$ w=(\alpha-1)(\beta-1) $$

とおく。

$\alpha-1=u$ であり $|u|=1$ だから、

$$ w=u(\beta-1) $$

である。すなわち、$u$ を掛けることは複素数平面上の回転を表す。

したがって、まず $\beta-1$ の絶対値の範囲を求める。

$\beta$ は

$$ |\beta-i|=1 $$

を満たすので、$\beta-1$ は

$$ |(\beta-1)-(i-1)|=1 $$

を満たす。つまり、$\beta-1$ は中心 $i-1$、半径 $1$ の円周上を動く。

この円の中心 $i-1$ の原点からの距離は

$$ |i-1|=\sqrt{2} $$

である。したがって、円周上の点の原点からの距離、すなわち $|\beta-1|$ の範囲は

$$ \sqrt{2}-1\leq |\beta-1|\leq \sqrt{2}+1 $$

である。

さらに $|u|=1$ なので

$$ |w|=|u||\beta-1|=|\beta-1| $$

である。一方、$u$ を自由に選ぶことで偏角は任意に回転できる。

よって $w=(\alpha-1)(\beta-1)$ の存在範囲は

$$ \sqrt{2}-1\leq |w|\leq \sqrt{2}+1 $$

である。

これは原点中心、内半径 $\sqrt{2}-1$、外半径 $\sqrt{2}+1$ の円環領域である。境界を含む。

解説

(1) では、$\alpha$ と $\beta$ がどちらも円周上の点であるにもかかわらず、和 $\alpha+\beta$ は円周ではなく円板全体になる点が重要である。2つの単位ベクトルの和は、長さ $0$ から $2$ までの任意の値をとれる。

(2) では、$\alpha-1$ の絶対値が常に $1$ であることに注目する。複素数に絶対値 $1$ の数を掛ける操作は回転なので、大きさは変わらず、偏角だけを自由に動かせる。したがって本質的には $|\beta-1|$ の範囲を求めればよい。

答え

(1)

$$ |\alpha+\beta-(1+i)|\leq 2 $$

すなわち、中心 $1+i$、半径 $2$ の円およびその内部。

(2)

$$ \sqrt{2}-1\leq |(\alpha-1)(\beta-1)|\leq \sqrt{2}+1 $$

すなわち、原点中心、内半径 $\sqrt{2}-1$、外半径 $\sqrt{2}+1$ の円環領域。