数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 24 解説

方針・初手

$f(1)$ と $f(i)$ がそれぞれ円板内を動くので、まず $f(1+i)$ を $f(1), f(i)$ の一次式で表す。すると、求める範囲は2つの円板の和集合、すなわち円板として処理できる。

解法1

$A=f(1), B=f(i), C=f(1+i)$ とおく。

条件は

$$ |A-3|\leqq 1,\qquad |B-1|\leqq 3 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} A&=f(1)=1+\alpha+\beta,\\ B&=f(i)=-1+i\alpha+\beta,\\ C&=f(1+i)=2i+(1+i)\alpha+\beta \end{aligned} $$

である。

$C$ を $A,B$ で表す。$A=1+\alpha+\beta$ より $\alpha+\beta=A-1$、また $B=-1+i\alpha+\beta$ より $i\alpha+\beta=B+1$ である。

したがって

$$ C=2i+\alpha+i\alpha+\beta =2i+(\alpha+\beta)+i\alpha =2i+A-1+i\alpha $$

である。

さらに

$$ (i-1)\alpha=(B+1)-(A-1)=B-A+2 $$

より

$$ \alpha=\frac{B-A+2}{i-1} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} C &=2i+A-1+\frac{i(B-A+2)}{i-1}\\ &=2i+A-1+\frac{1-i}{2}(B-A+2)\\ &=\frac{1+i}{2}A+\frac{1-i}{2}B+i. \end{aligned} $$

ここで

$$ A=3+u,\qquad B=1+v $$

とおくと、条件は

$$ |u|\leqq 1,\qquad |v|\leqq 3 $$

である。このとき

$$ \begin{aligned} C &=\frac{1+i}{2}(3+u)+\frac{1-i}{2}(1+v)+i\\ &=2+2i+\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v. \end{aligned} $$

ここで

$$ \left|\frac{1+i}{2}u\right|\leqq \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \left|\frac{1-i}{2}v\right|\leqq \frac{3\sqrt2}{2} $$

であるから、三角不等式より

$$ |C-(2+2i)| \leqq \frac{\sqrt2}{2}+\frac{3\sqrt2}{2} =2\sqrt2. $$

逆に、中心 $2+2i$、半径 $2\sqrt2$ の円板内の任意の点は、半径 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ の円板と半径 $\dfrac{3\sqrt2}{2}$ の円板の和として表せる。したがって $C=f(1+i)$ の取りうる値の範囲は

$$ |C-(2+2i)|\leqq 2\sqrt2 $$

である。

よって、複素数平面上では、中心 $2+2i$、半径 $2\sqrt2$ の閉円板である。座標でいえば、中心は $(2,2)$、半径は $2\sqrt2$ である。

次に $C=0$ の場合を考える。

$C=0$ は

$$ 0=2+2i+\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v $$

すなわち

$$ \frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v=-(2+2i) $$

を意味する。

左辺の2項の絶対値はそれぞれ高々

$$ \frac{\sqrt2}{2},\qquad \frac{3\sqrt2}{2} $$

であり、その和は $2\sqrt2$ である。一方、

$$ |-(2+2i)|=2\sqrt2 $$

である。

したがって等号成立の場合であり、2つのベクトルはともに $-(2+2i)$ と同じ向きを向き、かつそれぞれ最大の長さをもつ。

よって

$$ \frac{1+i}{2}u=-\frac{1+i}{2}, \qquad \frac{1-i}{2}v=-\frac{3}{2}(1+i) $$

である。

したがって

$$ u=-1 $$

であり、また

$$ v=-3\frac{1+i}{1-i}=-3i $$

である。

よって

$$ A=3+u=2,\qquad B=1+v=1-3i $$

である。

つまり

$$ f(1)=2,\qquad f(i)=1-3i $$

である。これを用いて $\alpha,\beta$ を求める。

$$ \begin{aligned} f(1)=2 &\Longrightarrow 1+\alpha+\beta=2\\ &\Longrightarrow \alpha+\beta=1, \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} f(i)=1-3i &\Longrightarrow -1+i\alpha+\beta=1-3i\\ &\Longrightarrow i\alpha+\beta=2-3i. \end{aligned} $$

2式を引くと

$$ (i-1)\alpha=1-3i $$

であるから

$$ \alpha=\frac{1-3i}{i-1}. $$

分母を処理すると

$$ \alpha=\frac{(1-3i)(-1-i)}{2}=-2+i. $$

したがって

$$ \beta=1-\alpha=3-i. $$

解説

この問題の本質は、係数 $\alpha,\beta$ を直接追うのではなく、$f(1),f(i),f(1+i)$ の関係に置き換えることである。

$f(1)$ と $f(i)$ はそれぞれ円板内を動くので、$f(1+i)$ がそれらの一次結合で表せれば、範囲は円板の和として求まる。特に半径が

$$ \frac{\sqrt2}{2},\qquad \frac{3\sqrt2}{2} $$

となるため、和の半径は $2\sqrt2$ になる。

また、$f(1+i)=0$ は得られた円板の境界点にあたる。境界で等号が成り立つためには、三角不等式の等号条件を使う必要がある。この点を見落とすと、$\alpha,\beta$ を一意に決められない。

答え

(1)

$$ |f(1+i)-(2+2i)|\leqq 2\sqrt2 $$

複素数平面上では、中心 $2+2i$、半径 $2\sqrt2$ の閉円板である。

(2)

$$ \alpha=-2+i,\qquad \beta=3-i $$