数学C ド・モアブルの定理 問題 2 解説

方針・初手

$\alpha$ は $1$ でない $5$ 乗根であるから、$\alpha^5=1$ を利用する。漸化式 $z_n=z_{n-1}^3$ により、$z_n$ は $\alpha$ の累乗として表せるので、指数を $5$ で割った余りに注目すればよい。

解法1

まず、$\alpha$ は

$$ \alpha=\cos\frac{360^\circ}{5}+i\sin\frac{360^\circ}{5} $$

であるから、ド・モアブルの定理より

$$ \alpha^5=\cos 360^\circ+i\sin 360^\circ=1 $$

である。また、$\alpha\ne 1$ である。

漸化式 $z_n=z_{n-1}^3$ より、順に

$$ z_1=\alpha $$

$$ z_2=\alpha^3 $$

$$ z_3=(\alpha^3)^3=\alpha^9 $$

$$ z_4=(\alpha^9)^3=\alpha^{27} $$

となる。一般に

$$ z_n=\alpha^{3^{n-1}} $$

である。

ここで $\alpha^5=1$ なので、指数は $5$ で割った余りだけを見ればよい。$3^k$ を $5$ で割った余りは

$$ 3^0\equiv 1,\quad 3^1\equiv 3,\quad 3^2\equiv 4,\quad 3^3\equiv 2,\quad 3^4\equiv 1 \pmod 5 $$

となり、周期 $4$ で繰り返す。

したがって、$z_n$ は

$$ \alpha,\ \alpha^3,\ \alpha^4,\ \alpha^2 $$

を周期 $4$ で繰り返す。

よって

$$ z_5=\alpha $$

である。

次に、$z_n=\alpha$ となるのは、指数 $3^{n-1}$ が $5$ で割って $1$ に合同なときである。上の周期より、これは

$$ n-1\equiv 0 \pmod 4 $$

すなわち

$$ n\equiv 1 \pmod 4 $$

のときである。

$1\leqq n\leqq 100$ において、これを満たす $n$ は

$$ 1,5,9,\ldots,97 $$

であり、その個数は

$$ \frac{97-1}{4}+1=25 $$

である。

最後に、$z_n$ は $4$ 項周期で

$$ \alpha,\ \alpha^3,\ \alpha^4,\ \alpha^2 $$

を繰り返す。$100=4\cdot 25$ であるから、

$$ \sum_{n=1}^{100}z_n = 25(\alpha+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^2) $$

である。

また、$\alpha$ は $1$ でない $5$ 乗根だから

$$ 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0 $$

が成り立つ。したがって

$$ \alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=-1 $$

である。ゆえに

$$ \sum_{n=1}^{100}z_n=25\cdot(-1)=-25 $$

となる。

解説

この問題では、複素数を直接計算するのではなく、$\alpha^5=1$ によって指数を $5$ で割った余りに置き換えることが重要である。

漸化式 $z_n=z_{n-1}^3$ から $z_n=\alpha^{3^{n-1}}$ と見抜ければ、あとは $3^{n-1}$ の $5$ における周期を調べるだけでよい。$3^k$ の余りは $1,3,4,2$ の周期 $4$ で繰り返すため、$z_n$ も $4$ 項周期になる。

また、和を求める場面では、$100$ が周期 $4$ の倍数であることを利用し、$1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$ に帰着させるのが自然である。

答え

(1)

$$ z_5=\alpha $$

(2)

$$ 25 $$

個である。

(3)

$$ \sum_{n=1}^{100}z_n=-25 $$