数学C ド・モアブルの定理 問題 3 解説

方針・初手

漸化式は一次式であるから、定数項を消すために平行移動する。すなわち、ある複素数 $\alpha$ を用いて $z_n-\alpha$ が等比数列になるようにするのが基本方針である。

ここで

$$ r=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} $$

とおくと、漸化式は

$$ z_{n+1}=rz_n+1 $$

である。

解法1

まず、$z_2,z_3$ を求める。

$$ z_2=rz_1+1=r+1 $$

より、

$$ z_2=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}+1 =\frac{3+\sqrt{3}i}{2} $$

である。

次に、

$$ z_3=rz_2+1=r(r+1)+1=r^2+r+1 $$

である。ここで

$$ r^2=\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$

だから、

$$ z_3=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} +\frac{1+\sqrt{3}i}{2} +1 =1+\sqrt{3}i $$

である。

次に、漸化式を

$$ z_{n+1}-\alpha=r(z_n-\alpha) $$

と表せるようにする。この式を展開すると、

$$ z_{n+1}=rz_n+(1-r)\alpha $$

である。もとの漸化式 $z_{n+1}=rz_n+1$ と比較して、

$$ (1-r)\alpha=1 $$

が必要である。

したがって、

$$ \alpha=\frac{1}{1-r} $$

である。ここで

$$ 1-r=1-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} =\frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

だから、

$$ \alpha =\frac{2}{1-\sqrt{3}i} =\frac{2(1+\sqrt{3}i)}{1+3} =\frac{1+\sqrt{3}i}{2} $$

となる。よって

$$ \alpha=r=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} $$

である。

このとき、

$$ z_{n+1}-r=r(z_n-r) $$

であるから、数列 $z_n-r$ は公比 $r$ の等比数列である。したがって、

$$ z_n-r=r^{n-1}(z_1-r) $$

である。

$z_1=1$ より、

$$ z_1-r =1-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} =\frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。また

$$ \frac{1-\sqrt{3}i}{2}=r^{-1} $$

であるから、

$$ z_n-r=r^{n-1}r^{-1}=r^{n-2} $$

となる。よって一般項は

$$ z_n=r+r^{n-2} $$

すなわち

$$ z_n=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} +\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{n-2} $$

である。

最後に、

$$ z_n=-\frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

となる自然数 $n$ を求める。

右辺は

$$ -\frac{1-\sqrt{3}i}{2} =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i =r^2 $$

である。したがって、

$$ z_n=r^2 $$

となる条件を求めればよい。

一般項 $z_n=r+r^{n-2}$ より、

$$ r+r^{n-2}=r^2 $$

である。よって

$$ r^{n-2}=r^2-r $$

となる。

ここで

$$ r^2-r = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} -\frac{1+\sqrt{3}i}{2} =-1 $$

であるから、

$$ r^{n-2}=-1 $$

である。

また、

$$ r=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} $$

なので $r^6=1$ かつ $r^3=-1$ である。したがって

$$ r^{n-2}=r^3 $$

となる条件は

$$ n-2\equiv 3 \pmod{6} $$

である。よって

$$ n\equiv 5 \pmod{6} $$

である。

したがって、求める自然数は

$$ n=6k+5 \quad (k=0,1,2,\ldots) $$

である。

解説

一次漸化式 $z_{n+1}=az_n+b$ は、固定点 $\alpha$ を使って $z_n-\alpha$ の形に直すのが標準的である。本問では $\alpha=r$ となるため、漸化式は等比数列に帰着する。

また、

$$ \frac{1+\sqrt{3}i}{2} =\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} $$

であることから、累乗は周期 $6$ をもつ。この周期性を使うと、最後の条件 $z_n=-\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ は合同式で処理できる。

答え

(1)

$$ z_2=\frac{3+\sqrt{3}i}{2},\qquad z_3=1+\sqrt{3}i $$

(2)

$$ \alpha=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} $$

(3)

$$ z_n=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} +\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{n-2} $$

(4)

$$ n=6k+5 \quad (k=0,1,2,\ldots) $$