数学C ド・モアブルの定理 問題 5 解説

方針・初手

右辺の複素数 $\sqrt{3}+i$ を極形式で表し、$x=\cos\theta+i\sin\theta$ に対してド・モアブルの定理を用いる。

解法1

まず、右辺を極形式に直す。

$$ \sqrt{3}+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) $$

したがって、方程式

$$ 2x^5=\sqrt{3}+i $$

は

$$ 2x^5=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) $$

となる。両辺を $2$ で割ると、

$$ x^5=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} $$

である。

ここで

$$ x=\cos\theta+i\sin\theta $$

より、ド・モアブルの定理から

$$ x^5=\cos5\theta+i\sin5\theta $$

である。よって

$$ \cos5\theta+i\sin5\theta=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} $$

となるので、

$$ 5\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi $$

と表せる。ただし $k$ は整数である。

したがって

$$ \theta=\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5} $$

である。

条件 $0\leqq \theta<2\pi$ より、

$$ 0\leqq \frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}<2\pi $$

を満たす整数 $k$ を求める。この範囲に入るのは

$$ k=0,1,2,3,4 $$

である。

よって、求める $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{25\pi}{30},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30} $$

である。ここで $\frac{25\pi}{30}=\frac{5\pi}{6}$ だから、

$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{5\pi}{6},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30} $$

となる。

解説

この問題では、複素数を極形式に直して偏角を比較することが中心である。

注意すべき点は、偏角は $2\pi$ の整数倍だけずれても同じ複素数を表すことである。そのため、

$$ 5\theta=\frac{\pi}{6} $$

だけで終わらず、

$$ 5\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi $$

とおく必要がある。

また、最後に $0\leqq\theta<2\pi$ の範囲に入るものだけを選ぶことも必要である。

答え

$$ \theta=\frac{\pi}{30},\frac{13\pi}{30},\frac{5\pi}{6},\frac{37\pi}{30},\frac{49\pi}{30} $$