数学C ド・モアブルの定理 問題 6 解説

方針・初手

分母 $\sqrt{3}+i$ を極形式で表し、ド・モアブルの定理を用いて $8$ 乗を計算する。絶対値と偏角を分けて考えると、計算が大幅に簡単になる。

解法1

まず、複素数 $\sqrt{3}+i$ の絶対値は

$$ \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2 $$

であり、偏角は

$$ \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

より $\theta=\frac{\pi}{6}$ である。

したがって、

$$ \sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) $$

と表せる。

よって、

$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) $$

である。

これを $8$ 乗すると、ド・モアブルの定理より

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^8 \left(\cos \left(-\frac{8\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{8\pi}{6}\right)\right) $$

となる。

ここで、

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^8 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^8 \frac{1}{16} $$

であり、

$$ -\frac{8\pi}{6}=-\frac{4\pi}{3} $$

である。これは $2\pi$ を加えると

$$ -\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3} $$

だから、

$$ \cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} $$

また、

$$ \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

したがって、

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = \frac{1}{16} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) $$

より、

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = -\frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32}i $$

である。

解説

複素数の累乗では、直交形式のまま展開すると計算量が大きくなる。そこで、分母を極形式に直し、商の絶対値と偏角を求めてから $8$ 乗するのが自然である。

特に、$\sqrt{3}+i$ は偏角 $\frac{\pi}{6}$ の典型的な複素数であるため、ド・モアブルの定理がそのまま使える。

答え

⑤

$$ -\frac{1}{32} $$

⑥

$$ \frac{\sqrt{3}}{32} $$