数学C ド・モアブルの定理 問題 11 解説

方針・初手

$x^n=1$ の解は、複素平面上の単位円を $n$ 等分する点である。したがって、まず $1$ の $n$ 乗根を三角関数表示で書く。

そのうえで、(2) は解と係数の関係を用いる。(3) は (1) で求めた $1$ の $n$ 乗根の和が $0$ になることを利用して、実部を取り出せばよい。

解法1

(1)

複素数 $x$ を極形式で

$$ x=r(\cos\theta+i\sin\theta) $$

とおく。

$x^n=1$ であるから、絶対値について

$$ r^n=1 $$

となる。$r\geqq0$ より $r=1$ である。

また、偏角については、$1$ の偏角が $2m\pi$ と表せるので、

$$ n\theta=2m\pi $$

すなわち

$$ \theta=\frac{2m\pi}{n} $$

である。

$m$ を整数全体で動かしても、異なる解は $n$ 個だけであり、$m=0,1,2,\dots,n-1$ とすればすべて得られる。

したがって、方程式 $x^n=1$ を満たす複素数は

$$ x=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k=0,1,2,\dots,n-1) $$

である。

(2)

方程式

$$ c_0x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n=0 $$

の解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ とする。ただし、重解がある場合は重複して数える。

左辺は

$$ c_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) $$

と表せる。

これを展開すると、$x^{n-1}$ の係数は

$$ -c_0(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n) $$

である。

一方、もとの多項式の $x^{n-1}$ の係数は $c_1$ であるから、

$$ -c_0(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=c_1 $$

となる。よって、

$$ \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=-\frac{c_1}{c_0} $$

である。

(3)

(1) より、方程式 $x^n=1$ の解は

$$ 1,\ \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n},\ \cos\frac{4\pi}{n}+i\sin\frac{4\pi}{n},\ \dots,\ \cos\frac{2(n-1)\pi}{n}+i\sin\frac{2(n-1)\pi}{n} $$

である。

一方、$x^n=1$ は

$$ x^n-1=0 $$

であり、これは

$$ x^n+0x^{n-1}+\cdots-1=0 $$

と見られる。

(2) の結果を用いると、この方程式の解の和は

$$ -\frac{0}{1}=0 $$

である。

したがって、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \left( \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \right)=0 $$

となる。

この等式の実部を比較すると、

$$ \sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=0 $$

である。ここで $k=0$ の項は

$$ \cos0=1 $$

なので、

$$ 1+\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=0 $$

となる。

よって、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=-1 $$

である。

解説

この問題では、$1$ の $n$ 乗根を単位円上の点として捉えることが中心である。

(1) では、絶対値が $1$ で、偏角が $\frac{2\pi}{n}$ ずつずれる $n$ 個の点を求める。

(2) では、一般の $n$ 次方程式に対して、解の和が $x^{n-1}$ の係数だけで決まることを確認する。

(3) では、$1$ の $n$ 乗根全体の和が $0$ になることを使い、その実部を取り出す。$k=0$ の項である $\cos0=1$ を引く点に注意する必要がある。

答え

(1)

$$ x=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k=0,1,2,\dots,n-1) $$

(2)

$$ \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=-\frac{c_1}{c_0} $$

(3)

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=-1 $$