数学C ド・モアブルの定理 問題 10 解説

方針・初手

実部と虚部をそのまま計算し、極形式では絶対値と偏角を求める。立方根は、絶対値の $3$ 乗根と偏角の $3$ 分割で表す。最後は $w_n$ の偏角が $0$ または $\pi$ の整数倍になる条件を考える。

解法1

(1)

$$ \alpha=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \alpha^2 &={(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i}^2\\ &=(\sqrt{3}-1)^2-(\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i \end{aligned} $$

ここで、

$$ (\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}+1)^2=4+2\sqrt{3} $$

また、

$$ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=2 $$

である。したがって、

$$ \alpha^2=-4\sqrt{3}+4i $$

である。

(2)

まず絶対値を求める。

$$ \begin{aligned} |\alpha| &=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2}\\ &=\sqrt{(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})}\\ &=\sqrt{8}\\ &=2\sqrt{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} $$

となる。ここで、

$$ \cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},\qquad \sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} $$

であるから、$0\leqq \theta<2\pi$ において

$$ \theta=\frac{5\pi}{12} $$

である。したがって、

$$ \alpha=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right) $$

と表せる。

(3)

$x^3=\alpha$ を満たす $x$ を極形式で

$$ x=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) $$

とおく。

(2)

より、

$$ \alpha=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right) $$

である。よって、$x^3=\alpha$ となるには、

$$ \rho^3=2\sqrt{2} $$

かつ

$$ 3\varphi=\frac{5\pi}{12}+2k\pi $$

を満たせばよい。ただし $k$ は整数である。

まず、

$$ 2\sqrt{2}=2^{3/2} $$

だから、

$$ \rho=(2^{3/2})^{1/3}=\sqrt{2} $$

である。また、

$$ \varphi=\frac{1}{3}\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right) =\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3} $$

となる。異なる解は $k=0,1,2$ の $3$ 個であるから、

$$ x=\sqrt{2}\left\{\cos\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right\} \quad(k=0,1,2) $$

である。

(4)

まず、

$$ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$

である。また、(2) より

$$ \alpha^n=(2\sqrt{2})^n \left(\cos\frac{5n\pi}{12}+i\sin\frac{5n\pi}{12}\right) $$

となる。

したがって、

$$ w_n=(1+i)\alpha^n $$

の偏角は

$$ \frac{\pi}{4}+\frac{5n\pi}{12} $$

である。$w_n$ が実数となるための条件は、この偏角が $\pi$ の整数倍になることである。

よって、ある整数 $m$ を用いて

$$ \frac{\pi}{4}+\frac{5n\pi}{12}=m\pi $$

と表せる。両辺を $\pi$ で割ると、

$$ \frac14+\frac{5n}{12}=m $$

である。両辺に $12$ をかけて、

$$ 3+5n=12m $$

したがって、

$$ 5n\equiv 9 \pmod{12} $$

である。$5$ の $12$ における逆元は $5$ だから、

$$ n\equiv 5\cdot 9\equiv 45\equiv 9\pmod{12} $$

となる。自然数 $n$ のうち最小のものは

$$ n=9 $$

である。

解説

この問題では、複素数を極形式に直すことが中心である。特に、偏角 $\frac{5\pi}{12}$ を正しく見抜けるかが重要である。

立方根を求める場面では、偏角に $2k\pi$ を加えてから $3$ で割る必要がある。これを忘れると、解が $1$ 個しか出ない。

また、$w_n$ が実数になる条件は、虚部を直接計算するよりも偏角で処理する方が簡潔である。複素数の積では偏角が加わるため、

$$ \frac{\pi}{4}+\frac{5n\pi}{12} $$

が $\pi$ の整数倍になるかを調べればよい。

答え

(1)

$$ \alpha^2=-4\sqrt{3}+4i $$

(2)

$$ \alpha=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right) $$

(3)

$$ x=\sqrt{2}\left\{\cos\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right\} \quad(k=0,1,2) $$

(4)

$$ n=9 $$