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数学C ド・モアブルの定理問題 24 解説

方針・初手

各 $Y_k$ は偏角が $\dfrac{\pi}{3}X_k$ の複素数であるから，積 $Z_n$ の偏角は $X_1+\cdots+X_n$ で決まる。

そこで

$$ S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n $$

とおくと，

$$ Z_n=\cos\left(\frac{\pi}{3}S_n\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}S_n\right) $$

である。したがって，$Z_n$ が実数である条件は

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}S_n\right)=0 $$

すなわち

$$ S_n\equiv 0 \pmod 3 $$

である。

解法1

まず，$X_k$ の確率分布は

$$ P(X_k=1)=\frac16,\quad P(X_k=-1)=\frac16,\quad P(X_k=0)=\frac46=\frac23 $$

である。

(1)

$Z_2$ が実数である条件は

$$ S_2=X_1+X_2\equiv 0 \pmod 3 $$

である。

$S_2$ は $-2,-1,0,1,2$ のいずれかなので，$S_2\equiv 0 \pmod 3$ となるのは $S_2=0$ の場合だけである。

$S_2=0$ となるのは，次のいずれかである。

$X_1=X_2=0$
$(X_1,X_2)=(1,-1),(-1,1)$

よって

$$ P(S_2=0)=\left(\frac23\right)^2+2\cdot\frac16\cdot\frac16 =\frac49+\frac1{18} =\frac12 $$

したがって，$Z_2$ が実数でない確率は

$$ 1-\frac12=\frac12 $$

である。

(2)

$Z_k$ が実数でない条件は

$$ S_k\not\equiv 0 \pmod 3 $$

である。したがって，$Z_1,Z_2,\ldots,Z_n$ がいずれも実数でないとは，

$$ S_1,S_2,\ldots,S_n $$

がすべて $3$ の倍数でないということである。

はじめは $S_0=0$ である。まず $S_1$ が $3$ の倍数でないためには，$X_1=1$ または $X_1=-1$ でなければならない。よってその確率は

$$ \frac16+\frac16=\frac13 $$

である。

次に，ある時点で $S_k\not\equiv 0 \pmod 3$ であるとする。このとき，次の $X_{k+1}$ によって $S_{k+1}\equiv 0 \pmod 3$ になってしまう値は，$X_{k+1}=1,-1,0$ のうちちょうど1つである。

その値が出る確率は $\dfrac16$ であるから，$S_{k+1}\not\equiv 0 \pmod 3$ のままである確率は

$$ 1-\frac16=\frac56 $$

である。

よって，$Z_1,Z_2,\ldots,Z_n$ がいずれも実数でない確率は

$$ \frac13\left(\frac56\right)^{n-1} $$

である。

(3)

$Z_n$ が実数である確率を

$$ p_n=P(S_n\equiv 0 \pmod 3) $$

とする。

また，対称性より

$$ P(S_n\equiv 1 \pmod 3)=P(S_n\equiv 2 \pmod 3) $$

である。したがって，この共通の確率を $q_n$ とおくと，

$$ p_n+2q_n=1 $$

より

$$ q_n=\frac{1-p_n}{2} $$

である。

$S_{n+1}\equiv 0 \pmod 3$ となるのは，次の3通りである。

$S_n\equiv 0 \pmod 3$ で，$X_{n+1}=0$
$S_n\equiv 1 \pmod 3$ で，$X_{n+1}=-1$
$S_n\equiv 2 \pmod 3$ で，$X_{n+1}=1$

したがって

$$ p_{n+1} =\frac23p_n+\frac16q_n+\frac16q_n =\frac23p_n+\frac13q_n $$

である。ここに $q_n=\dfrac{1-p_n}{2}$ を代入すると，

$$ p_{n+1} =\frac23p_n+\frac13\cdot\frac{1-p_n}{2} =\frac12p_n+\frac16 $$

となる。

よって

$$ p_{n+1}-\frac13 =\frac12\left(p_n-\frac13\right) $$

である。

また，$S_0=0$ だから $p_0=1$ である。したがって

$$ p_n-\frac13 =\left(\frac12\right)^n\left(p_0-\frac13\right) =\left(\frac12\right)^n\cdot\frac23 $$

より

$$ p_n=\frac13+\frac23\left(\frac12\right)^n $$

である。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}p_n = \lim_{n\to\infty}\left\{\frac13+\frac23\left(\frac12\right)^n\right\} =\frac13 $$

である。

解説

この問題の本質は，複素数の積を直接計算することではなく，偏角の和に変換することである。

$Y_k$ は $X_k=1,-1,0$ に応じて偏角が $\dfrac{\pi}{3},-\dfrac{\pi}{3},0$ だけ変化する。したがって，$Z_n$ が実数かどうかは，偏角の合計が $\pi$ の整数倍になるかどうか，つまり $S_n=X_1+\cdots+X_n$ が $3$ の倍数になるかどうかで判定できる。

(2)

では，各時点で $S_k$ が $3$ の倍数に戻らない確率を考える。非零の剰余にいるとき，次に $0$ に戻してしまう目はただ1通りで，その確率が常に $\dfrac16$ である点が重要である。

(3)

では，$S_n$ の値そのものではなく，$3$ で割った余りだけを追えばよい。剰余 $1$ と $2$ は対称なので，実数となる確率 $p_n$ だけの漸化式に落とせる。