数学C ド・モアブルの定理 問題 23 解説

方針・初手

2つの複素数

$$ \frac{1-\sqrt{3}i}{2},\qquad \frac{1+\sqrt{3}i}{2} $$

は絶対値が $1$ で、偏角がそれぞれ $-\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{3}$ である。したがって三角関数表示に直すと、$z_n$ は正弦を用いて簡単に表せる。

解法1

まず、

$$ \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$

$$ \frac{1+\sqrt{3}i}{2} = \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} $$

であるから、ド・モアブルの定理より

$$ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^n = \cos\left(-\frac{n\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{n\pi}{3}\right) $$

$$ \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^n = \cos\frac{n\pi}{3}+i\sin\frac{n\pi}{3} $$

である。

ここで

$$ \cos\left(-\frac{n\pi}{3}\right)=\cos\frac{n\pi}{3},\qquad \sin\left(-\frac{n\pi}{3}\right)=-\sin\frac{n\pi}{3} $$

より、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^n &= \left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^n \\ -2i\sin\frac{n\pi}{3} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} z_n &= \frac{i}{\sqrt{3}}\left(-2i\sin\frac{n\pi}{3}\right)\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{n\pi}{3} \end{aligned} $$

である。

よって $n$ を $6$ で割った余りごとに $z_n$ を調べると、

$$ \begin{array}{c|cccccc} n \bmod 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ \hline z_n & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} $$

となる。

$100$ を $6$ で割ると

$$ 100=6\cdot 16+4 $$

であるから、$100\equiv 4 \pmod{6}$ である。したがって

$$ z_{100}=-1 $$

である。

次に、$z_n$ は周期 $6$ をもち、

$$ \begin{aligned} z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6 &= 1+1+0-1-1+0\\ &= 0 \end{aligned} $$

である。

したがって、$1$ から $96$ までの和は $6$ 項ずつまとめると $0$ である。残りは $z_{97}$ から $z_{100}$ までである。

$$ 97\equiv 1,\quad 98\equiv 2,\quad 99\equiv 3,\quad 100\equiv 4 \pmod{6} $$

より、

$$ \begin{aligned} z_{97}+z_{98}+z_{99}+z_{100} &= 1+1+0-1\\ &= 1 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \sum_{k=1}^{100}z_k=1 $$

である。

解説

この問題の本質は、与えられた複素数が

$$ \cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3} $$

の形になっていることを見抜く点である。

そのまま二項展開するのではなく、極形式にしてド・モアブルの定理を使うと、$z_n$ は

$$ z_n=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{n\pi}{3} $$

という実数列になる。あとは周期 $6$ の数列として処理すればよい。

答え

イ：$-1$

ウ：$1$