数学C ド・モアブルの定理 問題 29 解説

方針・初手

$A_k$ は単位円上の $n$ 等分点であり、$A_0$ は複素数 $1$ を表す点である。したがって、距離は複素数の絶対値として扱う。

特に

$$ \mathrm{PA}_k=|x-\alpha^k| $$

と表せることを利用し、$n$ 乗根の因数分解

$$ z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(z-\alpha^k) $$

につなげる。

解法1

(1)

$A_0$ は複素数 $1$ を表し、$A_k$ は複素数

$$ \alpha^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} $$

を表す点である。

したがって、線分 $A_0A_k$ の長さは

$$ A_0A_k=|\alpha^k-1| $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} |\alpha^k-1|^2 &=\left(\cos\frac{2k\pi}{n}-1\right)^2+\left(\sin\frac{2k\pi}{n}\right)^2 \\ &=\cos^2\frac{2k\pi}{n}-2\cos\frac{2k\pi}{n}+1+\sin^2\frac{2k\pi}{n} \\ &=2-2\cos\frac{2k\pi}{n} \\ &=4\sin^2\frac{k\pi}{n}. \end{aligned} $$

$0\leq k\leq n-1$ より $0\leq \dfrac{k\pi}{n}<\pi$ であるから、

$$ \sin\frac{k\pi}{n}\geq 0 $$

である。よって

$$ A_0A_k=2\sin\frac{k\pi}{n} $$

となる。

特に $k=0$ のときも、両辺とも $0$ であるから成り立つ。

(2)

点 $P$ は直線 $OA_0$ 上にあり、実数 $x\geq 1$ を表す点であるから、$P$ は複素数 $x$ を表す。

したがって

$$ PA_k=|x-\alpha^k| $$

である。よって

$$ PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1} =\prod_{k=0}^{n-1}|x-\alpha^k| =\left|\prod_{k=0}^{n-1}(x-\alpha^k)\right|. $$

$\alpha^0,\alpha^1,\ldots,\alpha^{n-1}$ は方程式 $z^n=1$ のすべての解であるから、

$$ z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(z-\alpha^k) $$

である。ここに $z=x$ を代入すると、

$$ \prod_{k=0}^{n-1}(x-\alpha^k)=x^n-1 $$

を得る。

また $x\geq 1$ であるから $x^n-1\geq 0$ である。したがって

$$ PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1}=|x^n-1|=x^n-1 $$

である。

(3)

(2)より、$x>1$ とすると

$$ PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1}=x^n-1 $$

である。

ここで $PA_0=x-1$ であるから、両辺を $x-1$ で割ると

$$ PA_1\cdot PA_2\cdots PA_{n-1} =\frac{x^n-1}{x-1} $$

となる。

右辺は等比数列の和の公式より

$$ \frac{x^n-1}{x-1}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1} $$

である。よって

$$ PA_1\cdot PA_2\cdots PA_{n-1} =1+x+x^2+\cdots+x^{n-1} $$

である。

ここで $x\to 1+0$ とすると、点 $P$ は点 $A_0$ に近づく。したがって左辺は

$$ A_0A_1\cdot A_0A_2\cdots A_0A_{n-1} $$

に近づき、右辺は

$$ 1+1+\cdots+1=n $$

に近づく。

ゆえに

$$ A_0A_1\cdot A_0A_2\cdots A_0A_{n-1}=n $$

である。

(1)より、$1\leq k\leq n-1$ に対して

$$ A_0A_k=2\sin\frac{k\pi}{n} $$

であるから、

$$ \prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{n}\right)=n $$

すなわち

$$ n=\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{n}\right) $$

が示された。

解説

この問題の中心は、正 $n$ 角形の頂点を複素数の $n$ 乗根として扱うことである。

(1)では、単位円上の2点間の距離を絶対値 $|\alpha^k-1|$ として計算する。角度が $\dfrac{2k\pi}{n}$ であるため、半角公式により $2\sin\dfrac{k\pi}{n}$ が現れる。

(2)では、距離の積を

$$ \prod_{k=0}^{n-1}|x-\alpha^k| $$

と表し、$z^n-1$ の因数分解に結びつけるのが重要である。$x\geq 1$ なので、最後に絶対値を外せる。

(3)では、$x=1$ を直接代入すると $PA_0=0$ となり積全体が $0$ になってしまう。そのため、いったん $x>1$ として $PA_0=x-1$ で割り、最後に $x\to 1+0$ とする。この処理がこの問題の最も重要な点である。

答え

(1)

$$ A_0A_k=2\sin\frac{k\pi}{n} $$

(2)

$$ PA_0\cdot PA_1\cdots PA_{n-1}=x^n-1 $$

(3)

$$ n=\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{n}\right) $$