数学C ド・モアブルの定理 問題 30 解説

方針・初手

点 $B_n$ の表す複素数を $w_n$ とし、

$$ v_n=w_n-z_n $$

とおく。点 $A_{n+1}$ は線分 $A_nB_n$ の中点なので、$z_{n+1}$ は $z_n$ と $w_n$ の平均で表せる。

また、三角形の相似条件から、ベクトル $v_{n+1}=w_{n+1}-z_{n+1}$ は $v_n$ に一定の複素数をかけた形になる。したがって、$v_n$ を等比数列として処理する。

解法1

$B_n$ の表す複素数を $w_n$ とし、

$$ v_n=w_n-z_n $$

とおく。初期条件より

$$ z_1=0,\qquad w_1=\sqrt3+i $$

であるから、

$$ v_1=\sqrt3+i $$

である。

点 $A_{n+1}$ は線分 $A_nB_n$ の中点であるから、

$$ z_{n+1}=\frac{z_n+w_n}{2} =z_n+\frac{v_n}{2} $$

となる。

次に $v_{n+1}$ を求める。三角形 $A_{n+1}B_{n+1}B_n$ は三角形 $A_1B_0B_1$ と相似であり、対応は

$$ A_{n+1}\leftrightarrow A_1,\qquad B_{n+1}\leftrightarrow B_0,\qquad B_n\leftrightarrow B_1 $$

である。

もとの三角形では

$$ A_1B_1=\sqrt3+i $$

であり、これは長さ $2$、偏角 $\frac{\pi}{6}$ のベクトルである。一方、

$$ A_1B_0=\sqrt3 $$

であり、これは長さ $\sqrt3$、偏角 $0$ のベクトルである。

ここで、$A_{n+1}B_n$ は $A_nB_n$ の半分であるから、

$$ B_n-A_{n+1}=\frac{v_n}{2} $$

である。三角形が直線 $A_nB_n$ をはさんで前の三角形と反対側に作られるので、$A_{n+1}B_n$ から $A_{n+1}B_{n+1}$ へは、長さを $\frac{\sqrt3}{2}$ 倍し、偏角を $\frac{\pi}{6}$ だけ増やす。

したがって

$$ v_{n+1} = \frac{\sqrt3}{2} \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{v_n}{2} $$

である。よって

$$ v_{n+1}=\lambda v_n $$

ただし

$$ \lambda = \frac{\sqrt3}{4} \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3+\sqrt3 i}{8} $$

である。

したがって

$$ v_n=\lambda^{n-1}v_1 $$

であり、

$$ \begin{aligned} z_n &= z_1+\frac12\sum_{k=1}^{n-1}v_k\\ &= \frac{v_1}{2}\sum_{k=0}^{n-2}\lambda^k \end{aligned} $$

となる。$z_1=0$ なので、

$$ z_n = \frac{\sqrt3+i}{2} \cdot \frac{1-\lambda^{n-1}}{1-\lambda} $$

である。

まず $z_3$ を求める。$v_2=\lambda v_1$ より、

$$ \begin{aligned} v_2 &= \frac{3+\sqrt3 i}{8}(\sqrt3+i)\\ &= \frac{\sqrt3}{4}+\frac{3}{4}i \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} z_3 &= \frac12(v_1+v_2)\\ &= \frac12\left(\sqrt3+i+\frac{\sqrt3}{4}+\frac34i\right)\\ &= \frac{5\sqrt3}{8}+\frac78i \end{aligned} $$

である。

次に $z_{6m}$ を求める。まず

$$ \lambda = \frac{\sqrt3}{4} \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) $$

だから、

$$ \lambda^6 = \left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^6 \left(\cos\pi+i\sin\pi\right) = -\frac{27}{4096} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt3+i}{2(1-\lambda)} &= \frac{\sqrt3+i}{2\left(1-\frac{3+\sqrt3 i}{8}\right)}\\ &= \frac{4\sqrt3+8i}{7} \end{aligned} $$

であるから、

$$ z_n = \frac{4\sqrt3+8i}{7}(1-\lambda^{n-1}) $$

となる。

$n=6m$ とすると、

$$ z_{6m} = \frac{4\sqrt3+8i}{7}(1-\lambda^{6m-1}) $$

である。ここで

$$ \lambda^{6m-1} = \lambda^{-1}(\lambda^6)^m $$

であり、

$$ \begin{aligned} \lambda^{-1} &= \frac{8}{3+\sqrt3 i}\\ &= 2-\frac{2\sqrt3}{3}i \end{aligned} $$

だから、

$$ \lambda^{6m-1} = \left(2-\frac{2\sqrt3}{3}i\right) \left(-\frac{27}{4096}\right)^m $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} z_{6m} = \frac{4\sqrt3+8i}{7} \\ \frac{4\sqrt3+8i}{7} \left(2-\frac{2\sqrt3}{3}i\right) \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$

である。積を計算すると、

$$ \frac{4\sqrt3+8i}{7} \left(2-\frac{2\sqrt3}{3}i\right) = \frac{40\sqrt3}{21}+\frac87i $$

なので、

$$ \begin{aligned} z_{6m} = \frac{4\sqrt3+8i}{7} \\ \left(\frac{40\sqrt3}{21}+\frac87i\right) \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$

となる。

したがって実部と虚部はそれぞれ

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} z_{6m} = \frac{4\sqrt3}{7} \\ \frac{40\sqrt3}{21} \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Im} z_{6m} = \frac87 \\ \frac87 \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、点列そのものを直接追うのではなく、線分 $A_nB_n$ を表すベクトル

$$ v_n=w_n-z_n $$

を追うことである。

中点条件により、$A_{n+1}$ への移動量は常に $\frac12v_n$ になる。一方、相似条件により、新しい線分 $A_{n+1}B_{n+1}$ は、前の線分 $A_nB_n$ に一定の拡大・回転を施したものになる。

したがって $v_n$ が等比数列になり、$z_n$ はその和として求められる。特に $6m$ 番目では、回転角が $\frac{\pi}{6}$ ずつ増えるため、$6$ 回で角度が $\pi$ 進み、$\lambda^6$ が実数になる。このため実部・虚部を簡潔に整理できる。

答え

(1)

$$ z_3=\frac{5\sqrt3}{8}+\frac78i $$

(2)

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} z_{6m} = \frac{4\sqrt3}{7} \\ \frac{40\sqrt3}{21} \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Im} z_{6m} = \frac87 \\ \frac87 \left(-\frac{27}{4096}\right)^m \end{aligned} $$