数学C 平面ベクトル 問題 59 解説

方針・初手

平行四辺形なので、基準点を $A$ に置き、各点の位置ベクトルを $\vec a=\overrightarrow{AB}$、$\vec b=\overrightarrow{AD}$ で表す。

点 $P,R,Q$ はそれぞれ線分を内分しているので、内分比から位置ベクトルを求める。最後は $\overrightarrow{PR}$ と $\overrightarrow{PQ}$ の係数を比較すればよい。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\vec a,\ \overrightarrow{AD}=\vec b$ より、

$$ \overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec b $$

である。

(1)

まず、$AP:PB=2:3$ だから、$P$ は $AB$ を $2:3$ に内分する。したがって

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB} =\frac{2}{5}\vec a $$

である。

次に、$BQ:QD=1:2$ より、$Q$ は $BD$ を $1:2$ に内分する。ここで

$$ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} -\vec a+\vec b \vec b-\vec a $$

だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BQ} &= \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}\\ &= \frac{1}{3}(\vec b-\vec a) \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AQ} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ} \\ &= \vec a+\frac{1}{3}(\vec b-\vec a) \\ &= \frac{2}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b \end{aligned} $$

となる。

また、$BR:RC=3:1$ より、$R$ は $BC$ を $3:1$ に内分する。平行四辺形より

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BR} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\\ &= \frac{3}{4}\vec b \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AR} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BR} \\ &= \vec a+\frac{3}{4}\vec b \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\vec a,\qquad \overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b,\qquad \overrightarrow{AR}=\vec a+\frac{3}{4}\vec b $$

である。

(2)

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \left(\frac{2}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b\right) -\frac{2}{5}\vec a \\ &= \left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)\vec a+\frac{1}{3}\vec b \\ &= \frac{4}{15}\vec a+\frac{1}{3}\vec b \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \left(\vec a+\frac{3}{4}\vec b\right)-\frac{2}{5}\vec a \\ &= \frac{3}{5}\vec a+\frac{3}{4}\vec b \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \overrightarrow{PQ} = \frac{4}{15}\vec a+\frac{1}{3}\vec b,\qquad \overrightarrow{PR} = \frac{3}{5}\vec a+\frac{3}{4}\vec b $$

である。

(3)

$\overrightarrow{PR}=h\overrightarrow{PQ}$ となるとき、

$$ \frac{3}{5}\vec a+\frac{3}{4}\vec b = h\left(\frac{4}{15}\vec a+\frac{1}{3}\vec b\right) $$

である。

$\vec a,\vec b$ は平行四辺形の隣り合う辺のベクトルなので、同一直線上にはない。したがって、$\vec a,\vec b$ の係数を比較できる。

$\vec a$ の係数を比較すると、

$$ \frac{3}{5} = \frac{4}{15}h $$

より、

$$ h = \frac{3}{5}\cdot\frac{15}{4} \frac{9}{4} $$

である。

$\vec b$ の係数でも確認すると、

$$ \frac{3}{4} = \frac{1}{3}h $$

より、

$$ h=\frac{9}{4} $$

となり一致する。

よって、

$$ h=\frac{9}{4} $$

である。

解説

この問題では、各点を $A$ を基準にした位置ベクトルで表すことが重要である。

$Q$ は対角線 $BD$ 上の点なので、$\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a$ を使う点に注意する。また、$R$ は $BC$ 上の点であり、平行四辺形の性質から $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b$ と置ける。

最後の比例関係は、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ を $\vec a,\vec b$ の一次結合として表し、それぞれの係数を比較することで判定できる。係数が同じ倍率になっているため、$P,Q,R$ は一直線上にあり、$\overrightarrow{PR}$ は $\overrightarrow{PQ}$ の $\frac{9}{4}$ 倍である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\vec a,\qquad \overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b,\qquad \overrightarrow{AR}=\vec a+\frac{3}{4}\vec b $$

(2)

$$ \overrightarrow{PQ} = \frac{4}{15}\vec a+\frac{1}{3}\vec b,\qquad \overrightarrow{PR} = \frac{3}{5}\vec a+\frac{3}{4}\vec b $$

(3)

$$ h=\frac{9}{4} $$