数学C 平面ベクトル 問題 70 解説

方針・初手

$O$ は外心であり、$|\vec a|=1$ だから

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

である。

点 $P$ の位置ベクトルは $\vec a+\vec b+\vec c$ なので、直線 $AP$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{AP}=(\vec a+\vec b+\vec c)-\vec a=\vec b+\vec c $$

である。直線 $BC$ の方向ベクトルは $\vec c-\vec b$ であるから、内積を調べればよい。

解法1

(1)

直線 $AP$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{AP}=\vec b+\vec c $$

であり、直線 $BC$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b $$

である。

この2つの内積を計算すると、

$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) = \vec b\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec b+\vec c\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec b $$

である。内積の対称性より $\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec b$ だから、

$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) = -|\vec b|^2+|\vec c|^2 $$

となる。

$O$ は外心であるから $|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、

$$ -|\vec b|^2+|\vec c|^2=-1+1=0 $$

である。

したがって、直線 $AP$ と直線 $BC$ の方向ベクトルは直交する。よって、直線 $AP$ と直線 $BC$ は垂直に交わる。

(2)

$\overrightarrow{OP}\parallel AB$ であるから、ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP}=\lambda(\vec b-\vec a) $$

とおける。

一方で、

$$ \overrightarrow{OP}=\vec a+\vec b+\vec c $$

であるから、

$$ \vec a+\vec b+\vec c=\lambda(\vec b-\vec a) $$

となる。したがって、

$$ \vec c=-(\lambda+1)\vec a+(\lambda-1)\vec b $$

である。

ここで

$$ \vec c=s\vec a+t\vec b $$

と表すと、

$$ s=-(\lambda+1),\qquad t=\lambda-1 $$

である。よって

$$ s+t=-2 $$

が成り立つ。

また、$|\vec c|=1$ であり、$\vec a\cdot\vec b=-\dfrac34$ だから、

$$ \begin{aligned} 1 &=|\vec c|^2 \\ &=|s\vec a+t\vec b|^2 \\ &=s^2|\vec a|^2+t^2|\vec b|^2+2st(\vec a\cdot\vec b) \\ &=s^2+t^2-\frac32st \end{aligned} $$

である。

$s+t=-2$ より、

$$ s^2+t^2=(s+t)^2-2st=4-2st $$

だから、

$$ 1=4-2st-\frac32st $$

となる。したがって、

$$ 1=4-\frac72st $$

より、

$$ st=\frac67 $$

である。

よって $s,t$ は、和が $-2$、積が $\dfrac67$ である2数である。したがって、$s,t$ は2次方程式

$$ X^2+2X+\frac67=0 $$

の2解である。

これを解くと、

$$ X=\frac{-2\pm\sqrt{4-\frac{24}{7}}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{\frac47}}{2} -1\pm\frac{1}{\sqrt7} $$

である。

したがって、

$$ (s,t)=\left(-1+\frac1{\sqrt7},-1-\frac1{\sqrt7}\right) $$

または

$$ (s,t)=\left(-1-\frac1{\sqrt7},-1+\frac1{\sqrt7}\right) $$

である。

解説

この問題の本質は、$\vec a,\vec b,\vec c$ がすべて外接円の半径ベクトルであるため、長さが等しいという点にある。

(1)

では、$\overrightarrow{AP}=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ と見抜けば、

$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)=|\vec c|^2-|\vec b|^2 $$

となり、外心の条件だけで直交が示せる。

(2)

では、$\overrightarrow{OP}\parallel AB$ から

$$ \vec a+\vec b+\vec c \parallel \vec b-\vec a $$

と置くのが自然である。その結果 $s+t=-2$ が得られ、あとは $|\vec c|=1$ と $\vec a\cdot\vec b=-\dfrac34$ を用いて $st$ を求めるだけである。

答え

(1)

直線 $AP$ と直線 $BC$ は垂直に交わる。

(2)

$$ (s,t)=\left(-1+\frac1{\sqrt7},-1-\frac1{\sqrt7}\right) $$

または

$$ (s,t)=\left(-1-\frac1{\sqrt7},-1+\frac1{\sqrt7}\right) $$