数学C 平面ベクトル 問題 71 解説

方針・初手

与えられている $|3\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ を2乗し、内積を含む形に展開する。

解法1

両辺を2乗すると、

$$ |3\vec{a}-\vec{b}|^2=7 $$

である。

左辺を内積で展開する。

$$ \begin{aligned} |3\vec{a}-\vec{b}|^2 &=(3\vec{a}-\vec{b})\cdot(3\vec{a}-\vec{b})\\ &=9|\vec{a}|^2-6\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 \end{aligned} $$

ここで、$|\vec{a}|=1,\ |\vec{b}|=2$ より、

$$ 9|\vec{a}|^2-6\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 =9\cdot 1^2-6\vec{a}\cdot\vec{b}+2^2 $$

したがって、

$$ 13-6\vec{a}\cdot\vec{b}=7 $$

となる。

これを解くと、

$$ -6\vec{a}\cdot\vec{b}=-6 $$

より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=1 $$

である。

解説

ベクトルの大きさが与えられ、$|3\vec{a}-\vec{b}|$ のような形が出ているときは、2乗して内積の形に展開するのが基本である。

特に、

$$ |\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x} $$

を用いると、未知量 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を含む一次方程式に帰着できる。

答え

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=1 $$