数学C 平面ベクトル問題 82 解説

方針・初手

$D$ は直線 $OB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OB}$ とおく。垂線条件は内積が $0$ であることに置き換える。

また、$H$ は $AD$ と $BE$ の交点であるから、

$$ (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OB}=0,\qquad (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OA}=0 $$

を用いる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。ただし、問題文の長さとの混同を避けるため、必要に応じて

$$ |\mathbf{a}|=a,\qquad |\mathbf{b}|=b,\qquad \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=ab\cos\theta $$

を用いる。

(1) $\overrightarrow{OD}$ を求める

$D$ は直線 $OB$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OB} $$

とおける。

また、$AD\perp OB$ より、

$$ (\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

である。したがって、

$$ (t\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

より、

$$ t|\overrightarrow{OB}|^2-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

となる。ここで

$$ |\overrightarrow{OB}|=b,\qquad \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=ab\cos\theta $$

であるから、

$$ tb^2=ab\cos\theta $$

すなわち

$$ t=\frac{a\cos\theta}{b} $$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{a\cos\theta}{b}\overrightarrow{OB} $$

である。

(2) $\overrightarrow{OH}$ を求める

$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合として

$$ \overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB} $$

とおく。

$H$ は $AD$ 上にあるので、$AH\perp OB$ である。したがって、

$$ (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

より、

$$ (x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

である。これを整理すると、

$$ (x-1)ab\cos\theta+yb^2=0 $$

すなわち

$$ xa\cos\theta+yb=a\cos\theta $$

を得る。

同様に、$H$ は $BE$ 上にあるので、$BH\perp OA$ である。したがって、

$$ (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OA}=0 $$

より、

$$ x a^2+(y-1)ab\cos\theta=0 $$

である。これを整理すると、

$$ xa+yb\cos\theta=b\cos\theta $$

を得る。

よって、$x,y$ は連立方程式

$$ \begin{cases} xa\cos\theta+yb=a\cos\theta,\\ xa+yb\cos\theta=b\cos\theta \end{cases} $$

を満たす。

第1式と第2式を解く。第1式から

$$ yb=a\cos\theta-xa\cos\theta $$

であり、これを第2式に代入してもよいが、ここでは直接解くと、

$$ x=\frac{\cos\theta(b-a\cos\theta)}{a\sin^2\theta} $$

であり、

$$ y=\frac{\cos\theta(a-b\cos\theta)}{b\sin^2\theta} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{\cos\theta(b-a\cos\theta)}{a\sin^2\theta}\overrightarrow{OA} + \frac{\cos\theta(a-b\cos\theta)}{b\sin^2\theta}\overrightarrow{OB} $$

である。

(3) 条件から $\dfrac{b}{a}$ と $\theta$ を求める

条件

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} $$

と、(2) の結果を比較する。

$\triangle OAB$ は三角形であるから、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は一次独立である。よって係数を比較して、

$$ \frac{\cos\theta(b-a\cos\theta)}{a\sin^2\theta}=\frac{1}{3} $$

かつ

$$ \frac{\cos\theta(a-b\cos\theta)}{b\sin^2\theta}=\frac{1}{3} $$

である。

ここで

$$ r=\frac{b}{a},\qquad c=\cos\theta $$

とおく。すると、上の2式は

$$ \frac{c(r-c)}{1-c^2}=\frac{1}{3} $$

および

$$ \frac{c(1-rc)}{r(1-c^2)}=\frac{1}{3} $$

となる。

それぞれ整理すると、

$$ 3c(r-c)=1-c^2 $$

より、

$$ 3rc=1+2c^2 $$

を得る。また、

$$ 3c(1-rc)=r(1-c^2) $$

より、

$$ 3c=r(1+2c^2) $$

を得る。

したがって、

$$ r=\frac{1+2c^2}{3c} $$

かつ

$$ r=\frac{3c}{1+2c^2} $$

である。ここで $r>0$ であり、$1+2c^2>0$ だから $c>0$ である。

よって、

$$ \frac{1+2c^2}{3c}=\frac{3c}{1+2c^2} $$

となる。両辺を整理して、

$$ (1+2c^2)^2=9c^2 $$

である。$c>0$ より、

$$ 1+2c^2=3c $$

であるから、

$$ 2c^2-3c+1=0 $$

となる。因数分解して、

$$ (2c-1)(c-1)=0 $$

である。

$c=1$ は $\theta=0$ を表し、三角形が退化するので不適である。よって、

$$ c=\frac{1}{2} $$

であり、

$$ \cos\theta=\frac{1}{2} $$

だから、

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

さらに、

$$ r=\frac{1+2\left(\frac{1}{2}\right)^2}{3\cdot \frac{1}{2}} = \frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} =1 $$

より、

$$ \frac{b}{a}=1 $$

である。

解説

垂線条件を内積で表すことが中心である。$D$ は $OB$ 上の点なので、$\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OB}$ の実数倍とおけば、射影の計算になる。

また、$H$ は2本の垂線の交点であるから、$AH\perp OB$ と $BH\perp OA$ の2条件を使えばよい。$\overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ とおくことで、内積条件が $x,y$ の連立一次方程式になる。

(3)

では、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が一次独立であることを使って係数比較する点が重要である。ここで $r=b/a,\ c=\cos\theta$ とおくと、計算が大きく簡潔になる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{a\cos\theta}{b}\overrightarrow{OB} $$

(2)

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{\cos\theta(b-a\cos\theta)}{a\sin^2\theta}\overrightarrow{OA} + \frac{\cos\theta(a-b\cos\theta)}{b\sin^2\theta}\overrightarrow{OB} $$

(3)

$$ \frac{b}{a}=1,\qquad \theta=\frac{\pi}{3} $$