数学C 平面ベクトル 問題 98 解説

方針・初手

平行四辺形なので、$\overrightarrow{AB}=\vec a,\ \overrightarrow{AD}=\vec b$ とおくと、各点の位置ベクトルを $\vec a,\vec b$ で表せる。

点 $A,E,F$ が一直線上にある条件は、$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ が平行であること、すなわち一方が他方の実数倍になることである。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\vec a,\ \overrightarrow{AD}=\vec b$ とすると、平行四辺形 $ABCD$ より

$$ \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b $$

である。

したがって、$A$ を基準にした各点の位置ベクトルは

$$ B:\vec a,\quad D:\vec b,\quad C:\vec a+\vec b $$

である。

点 $E$ は辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点であるから、$BE:EC=3:2$ である。よって

$$ \overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{3+2} $$

となる。これに $\overrightarrow{AB}=\vec a,\ \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$ を代入して、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AE} &= \frac{2\vec a+3(\vec a+\vec b)}{5} \\ &= \frac{5\vec a+3\vec b}{5} \\ &= \vec a+\frac{3}{5}\vec b \end{aligned} $$

である。

次に、点 $F$ は辺 $CD$ を $2:k$ に外分する点である。すなわち $CF:FD=2:k$ と考える。外分点の公式より、$k\ne2$ のとき

$$ \overrightarrow{AF} = \frac{2\overrightarrow{AD}-k\overrightarrow{AC}}{2-k} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AF} &= \frac{2\vec b-k(\vec a+\vec b)}{2-k} \\ &= \frac{-k\vec a+(2-k)\vec b}{2-k} \\ &= -\frac{k}{2-k}\vec a+\vec b \\ &= \frac{k}{k-2}\vec a+\vec b \end{aligned} $$

となる。

よって、(1) の答えは

$$ \overrightarrow{AE}=\vec a+\frac{3}{5}\vec b,\quad \overrightarrow{AF}=\frac{k}{k-2}\vec a+\vec b $$

である。

次に、$A,E,F$ が一直線上にあるとする。このとき、$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ は平行であるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AF} $$

と表せる。

すなわち

$$ \vec a+\frac{3}{5}\vec b = t\left(\frac{k}{k-2}\vec a+\vec b\right) $$

である。

$\vec a,\vec b$ は平行でないので、係数を比較できる。$\vec b$ の係数を比較すると、

$$ \frac{3}{5}=t $$

である。

これを $\vec a$ の係数比較に代入すると、

$$ 1= \frac{3}{5}\cdot\frac{k}{k-2} $$

となる。これを解くと、

$$ \begin{aligned} 1&=\frac{3k}{5(k-2)} \\ 5(k-2)&=3k \\ 5k-10&=3k \\ 2k&=10 \\ k&=5 \end{aligned} $$

したがって、$A,E,F$ が一直線上にあるとき

$$ k=5 $$

である。

解説

この問題では、平行四辺形の頂点を $\vec a,\vec b$ の一次結合で表すことが基本である。

内分点 $E$ は通常の内分公式で処理できる。一方、外分点 $F$ では符号に注意が必要である。$CD$ を $2:k$ に外分する点なので、外分公式は

$$ F=\frac{2D-kC}{2-k} $$

となる。ここで $2+k$ ではなく $2-k$ が出る点が重要である。

一直線上にある条件は、$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ が平行であることに言い換える。$\vec a,\vec b$ は平行でない2つのベクトルなので、係数比較によって $k$ を求められる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AE}=\vec a+\frac{3}{5}\vec b $$

$$ \overrightarrow{AF}=\frac{k}{k-2}\vec a+\vec b $$

(2)

$$ k=5 $$