数学C 平面ベクトル 問題 99 解説

方針・初手

点 $A,B$ が放物線 $y=x^2$ 上にあるので、それぞれの $x$ 座標を文字でおく。内積 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ は $ab$ だけで表せるため、まず $u=ab$ とおいて整理する。

解法1

点 $A,B$ の座標を

$$ A(a,a^2),\quad B(b,b^2) $$

とおく。このとき

$$ \overrightarrow{OA}=(a,a^2),\quad \overrightarrow{OB}=(b,b^2) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =ab+a^2b^2 =ab+(ab)^2 $$

となる。

$u=ab$ とおくと、$u$ は任意の実数をとることができ、

$$ t=u^2+u $$

である。平方完成すると、

$$ t=u^2+u=\left(u+\frac12\right)^2-\frac14 $$

となるので、

$$ t\geqq -\frac14 $$

である。

したがって、$t$ のとりうる値の範囲は

$$ t\geqq -\frac14 $$

である。

次に、$t=2$ のときを考える。このとき

$$ ab+(ab)^2=2 $$

より、

$$ (ab)^2+ab-2=0 $$

である。よって

$$ (ab-1)(ab+2)=0 $$

となるから、

$$ ab=1\quad \text{または}\quad ab=-2 $$

である。

点 $P$ の座標を $P(X,Y)$ とおく。条件

$$ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} $$

より、

$$ (X,Y)=(a+b,a^2+b^2) $$

である。したがって

$$ X=a+b,\quad Y=a^2+b^2 $$

であり、

$$ Y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=X^2-2ab $$

となる。

(i)

$ab=1$ のとき

$$ Y=X^2-2 $$

である。ただし、実数 $a,b$ が存在するためには、$a,b$ は方程式

$$ z^2-Xz+1=0 $$

の実数解であればよい。よって判別式より

$$ X^2-4\geqq 0 $$

すなわち

$$ X\leqq -2\quad \text{または}\quad X\geqq 2 $$

である。

したがって、この場合の軌跡は

$$ Y=X^2-2\quad (X\leqq -2,\ X\geqq 2) $$

である。

(ii)

$ab=-2$ のとき

$$ Y=X^2+4 $$

である。このとき $a,b$ は方程式

$$ z^2-Xz-2=0 $$

の実数解であればよい。判別式は

$$ X^2+8>0 $$

であるから、任意の実数 $X$ に対して実数 $a,b$ が存在する。

したがって、この場合の軌跡は

$$ Y=X^2+4\quad (X\in\mathbb{R}) $$

である。

よって、$t=2$ のときの点 $P$ の軌跡は

$$ Y=X^2-2\quad (X\leqq -2,\ X\geqq 2) $$

および

$$ Y=X^2+4\quad (X\in\mathbb{R}) $$

である。

解説

この問題では、放物線上の点を $A(a,a^2),B(b,b^2)$ とおくことが初手である。内積が $ab$ のみで表されるため、$u=ab$ とおくと $t$ の範囲は二次関数の値域に帰着する。

点 $P$ の軌跡では、$X=a+b,\ Y=a^2+b^2$ とおく。ここで $Y=(a+b)^2-2ab$ を使うと、$ab$ の値ごとに放物線が得られる。ただし、$a,b$ が実数として存在する条件を判別式で確認する必要がある。

特に $ab=1$ の場合は、すべての $X$ が可能ではなく、$X\leqq -2$ または $X\geqq 2$ に限られる点が重要である。

答え

(1)

$$ t\geqq -\frac14 $$

(2)

点 $P(X,Y)$ の軌跡は

$$ Y=X^2+4\quad (X\in\mathbb{R}) $$

および

$$ Y=X^2-2\quad (X\leqq -2,\ X\geqq 2) $$

である。