数学C 平面ベクトル問題 100 解説

方針・初手

外分点 $M,N$ の位置ベクトルをまず求める。以後、$\vec{OA}=\vec a,\ \vec{OB}=\vec b$ とし、$\triangle OAB$ であるから $\vec a,\vec b$ は一次独立であることを利用して係数比較を行う。

解法1

外分点の公式より、

$$ \vec{OM}=\frac{3\vec a-1\cdot \vec 0}{3-1}=\frac{3}{2}\vec a,\qquad \vec{ON}=\frac{2\vec b-1\cdot \vec 0}{2-1}=2\vec b $$

である。

(1)

点 $P$ は線分 $AN$ を $1-s:s$ に内分するので、

$$ \vec{OP} =s\vec{OA}+(1-s)\vec{ON} =s\vec a+2(1-s)\vec b $$

である。

点 $Q$ は線分 $BM$ を $1-t:t$ に内分するので、

$$ \vec{OQ} =t\vec{OB}+(1-t)\vec{OM} =\frac{3}{2}(1-t)\vec a+t\vec b $$

である。

よって、

$$ \vec{OP}=s\vec a+2(1-s)\vec b,\qquad \vec{OQ}=\frac{3}{2}(1-t)\vec a+t\vec b $$

である。

(2)

点 $D$ は直線 $AN$ と直線 $BM$ の交点であるから、ある $s,t$ を用いて

$$ s\vec a+2(1-s)\vec b=\frac{3}{2}(1-t)\vec a+t\vec b $$

と表せる。

$\vec a,\vec b$ は一次独立なので、係数を比較して

$$ s=\frac{3}{2}(1-t),\qquad 2(1-s)=t $$

を得る。第2式より $t=2-2s$ である。これを第1式に代入すると、

$$ s=\frac{3}{2}{1-(2-2s)} =\frac{3}{2}(-1+2s) $$

より、

$$ s=\frac{3}{4},\qquad t=\frac{1}{2} $$

である。

したがって、

$$ \vec{OD} =\frac{3}{4}\vec a+2\left(1-\frac{3}{4}\right)\vec b =\frac{3}{4}\vec a+\frac{1}{2}\vec b $$

である。

(3)

点 $E$ は直線 $OD$ 上にあるから、ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ \vec{OE} =\lambda\vec{OD} =\frac{3\lambda}{4}\vec a+\frac{\lambda}{2}\vec b $$

と表せる。

また、点 $E$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\vec{OE}$ における $\vec a,\vec b$ の係数の和は $1$ である。したがって、

$$ \frac{3\lambda}{4}+\frac{\lambda}{2}=1 $$

である。これを解くと、

$$ \frac{5\lambda}{4}=1 $$

より、

$$ \lambda=\frac{4}{5} $$

である。

したがって、

$$ \vec{OE} =\frac{4}{5}\left(\frac{3}{4}\vec a+\frac{1}{2}\vec b\right) =\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b $$

である。

(4)

条件 $\overline{EP}\parallel \overline{OB}$ より、$\vec{EP}$ は $\vec b$ 方向のベクトルである。したがって、$\vec{OP}$ と $\vec{OE}$ の $\vec a$ の係数が等しい。

$$ \vec{OP}=s\vec a+2(1-s)\vec b,\qquad \vec{OE}=\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b $$

より、

$$ s=\frac{3}{5} $$

である。よって、

$$ \vec{OP} =\frac{3}{5}\vec a+2\left(1-\frac{3}{5}\right)\vec b =\frac{3}{5}\vec a+\frac{4}{5}\vec b $$

である。

次に、条件 $\overline{EQ}\parallel \overline{OA}$ より、$\vec{EQ}$ は $\vec a$ 方向のベクトルである。したがって、$\vec{OQ}$ と $\vec{OE}$ の $\vec b$ の係数が等しい。

$$ \vec{OQ}=\frac{3}{2}(1-t)\vec a+t\vec b,\qquad \vec{OE}=\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b $$

より、

$$ t=\frac{2}{5} $$

である。よって、

$$ \vec{OQ} =\frac{3}{2}\left(1-\frac{2}{5}\right)\vec a+\frac{2}{5}\vec b =\frac{9}{10}\vec a+\frac{2}{5}\vec b $$

である。

したがって、

$$ \vec{EP} =\vec{OP}-\vec{OE} =\frac{2}{5}\vec b $$

であり、

$$ \vec{EQ} =\vec{OQ}-\vec{OE} =\frac{3}{10}\vec a $$

である。

$\triangle OAB$ の面積を $S$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2}|\vec a\times \vec b| $$

である。一方、

$$ T =\frac{1}{2}|\vec{EP}\times \vec{EQ}| =\frac{1}{2}\left|\frac{2}{5}\vec b\times \frac{3}{10}\vec a\right| $$

であるから、

$$ T =\frac{3}{25}\cdot \frac{1}{2}|\vec a\times \vec b| =\frac{3}{25}S $$

である。

よって、

$$ \frac{T}{S}=\frac{3}{25} $$

である。

解説

この問題では、外分点・内分点の位置ベクトルを正確に立てることが最重要である。

直線 $AN$ と直線 $BM$ の交点は、それぞれの直線上の点として2通りに表し、$\vec a,\vec b$ の係数比較で求める。三角形 $OAB$ の頂点なので、$\vec a,\vec b$ が一次独立であることを使える。

また、点 $E$ が直線 $AB$ 上にあることは、$\vec{OE}=x\vec a+y\vec b$ としたとき $x+y=1$ と表せる。これはベクトル問題で頻出の処理である。

最後の面積比では、$\overline{EP}\parallel \overline{OB}$、$\overline{EQ}\parallel \overline{OA}$ から、$\vec{EP}$ と $\vec{EQ}$ がそれぞれ $\vec b,\vec a$ の定数倍になるため、面積比はその定数倍の積で決まる。