数学C 平面ベクトル問題 101 解説

方針・初手

与えられたベクトル等式

$$ \sqrt{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0} $$

から、まず $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA}$ で表す。各ベクトルの長さがすべて $1$ であることを使えば、内積 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$ が求まり、$\angle BOC$ が決まる。

その後、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ を $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ で表し、面積は外積の大きさに対応する量として求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とおく。

条件より

$$ \sqrt{2}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} $$

であるから、

$$ \vec{b}+\vec{c}=-\sqrt{2}\vec{a} $$

となる。

両辺の長さの2乗を比べると、

$$ |\vec{b}+\vec{c}|^2=|-\sqrt{2}\vec{a}|^2 $$

である。ここで $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ より、

$$ \begin{aligned} |\vec{b}+\vec{c}|^2 &= |\vec{b}|^2+2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2\\ &= 2+2\vec{b}\cdot\vec{c} \end{aligned} $$

また、

$$ |-\sqrt{2}\vec{a}|^2=2|\vec{a}|^2=2 $$

である。したがって

$$ 2+2\vec{b}\cdot\vec{c}=2 $$

より、

$$ \vec{b}\cdot\vec{c}=0 $$

を得る。

$\vec{b}$ と $\vec{c}$ はともに長さ $1$ であるから、

$$ \vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos\angle BOC = \cos\angle BOC $$

である。よって

$$ \cos\angle BOC=0 $$

となるので、

$$ \angle BOC=\frac{\pi}{2} $$

である。

次に、条件式から

$$ \vec{a}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{b}+\vec{c}) $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &= \vec{b}-\vec{a} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &=\vec{b}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{b}+\vec{c})\\ &=\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\vec{b}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{c}. \end{aligned} $$

すなわち

$$ \overrightarrow{AB} = \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\overrightarrow{OB} + \frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{OC} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\ &= \vec{c}-\vec{b} \end{aligned} $$

である。

ここで $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は長さ $1$ で互いに垂直であるから、$\vec{b},\vec{c}$ を直交する基底として考えられる。

この基底に関して

$$ \overrightarrow{AB} = \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{c} $$

であり、

$$ \overrightarrow{BC} = -\vec{b}+\vec{c} $$

である。

したがって、$\triangle ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right| $$

で求まる。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \left| \begin{vmatrix} 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right| &= \left| \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot 1 &= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-1) \right|\\ &= 1+\frac{2}{\sqrt{2}}\\ &= 1+\sqrt{2}. \end{aligned} $$

よって

$$ \triangle ABC $$

の面積は

$$ \frac{1+\sqrt{2}}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、ベクトル等式をそのまま成分計算するのではなく、長さの2乗を取って内積を求める点である。

特に

$$ \vec{b}+\vec{c}=-\sqrt{2}\vec{a} $$

から両辺の長さの2乗を取ることで、$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$ が得られる。これにより $\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ が直交することが分かるため、面積計算がかなり簡単になる。

$\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{BC}$ は $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$ と表すのが基本である。最後の面積では、$\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が直交単位ベクトルであることを使って、係数の行列式から面積を求めればよい。