数学C 平面ベクトル 問題 102 解説

方針・初手

(1) は角の二等分線の性質を用いて、点 $N$ が辺 $AB$ をどの比に内分するかを求める。

(2) は点 $H$ が直線 $AB$ 上にあり、かつ $OH \perp AB$ であることをベクトルの内積で表す。

解法1

まず、与えられた条件から内積を求めておく。

$$ |\vec{a}|=3,\qquad |\vec{b}|=\sqrt{3},\qquad \angle AOB=30^\circ $$

より、

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos 30^\circ\\ &= 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &= \frac{9}{2} \end{aligned} $$

である。

(1)

$ON$ は $\angle AOB$ の二等分線であり、$N$ は辺 $AB$ 上の点である。

角の二等分線の定理より、

$$ AN:NB=OA:OB=3:\sqrt{3} $$

である。

点 $N$ は $A,B$ を結ぶ線分を $AN:NB=3:\sqrt{3}$ に内分するから、位置ベクトルは

$$ \vec{ON} = \frac{\sqrt{3}\vec{a}+3\vec{b}}{3+\sqrt{3}} $$

となる。

これを少し整理すると、

$$ \vec{ON} = \frac{\vec{a}+\sqrt{3}\vec{b}}{\sqrt{3}+1} $$

である。

(2)

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \vec{OH} = \vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}) $$

とおける。

また、$OH \perp AB$ であるから、

$$ \vec{OH}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0 $$

が成り立つ。

これに $\vec{OH}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$ を代入すると、

$$ {\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0 $$

すなわち

$$ \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) + t|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 0 $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) &= \vec{a}\cdot\vec{b}-|\vec{a}|^2\\ &= \frac{9}{2}-9 \end{aligned} -\frac{9}{2} $$

また、

$$ \begin{aligned} |\vec{b}-\vec{a}|^2 &= |\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}|^2\\ &= 3-9+9\\ &= 3 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ -\frac{9}{2}+3t=0 $$

より、

$$ t=\frac{3}{2} $$

となる。

よって、

$$ \vec{OH} = \vec{a}+\frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{a}) -\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b} \frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2} $$

である。

解説

(1) は角の二等分線の定理を使うのが最短である。比 $AN:NB$ が $OA:OB$ に等しいことから、内分点の公式に直接持ち込める。

(2) では、垂線の足が線分 $AB$ 上にあるとは限らない点に注意する必要がある。ここでは $t=\frac{3}{2}$ となるため、点 $H$ は線分 $AB$ 上ではなく、$B$ の外側の直線上にある。しかし問題は「直線 $AB$」との交点を聞いているので問題ない。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} \vec{ON} &= \frac{\sqrt{3}\vec{a}+3\vec{b}}{3+\sqrt{3}}\\ &= \frac{\vec{a}+\sqrt{3}\vec{b}}{\sqrt{3}+1} \end{aligned} $$

(2)

$$ \vec{OH} = \frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2} $$