数学C 平面ベクトル問題 103 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とおき、ベクトルの内積条件を座標で表す。与えられた式は一見複雑だが、左辺を展開すると $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ が両辺で打ち消されるため、円の方程式に整理できる。

解法1

点 $P$ を $P(x,y)$ とおく。また、

$$ \overrightarrow{OA}=(13,12),\qquad \overrightarrow{OB}=(17,28),\qquad \overrightarrow{OP}=(x,y) $$

である。

条件

$$ (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} $$

の左辺を展開する。

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}) &= \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} \end{aligned} $$

したがって条件式は

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} $$

となる。両辺から $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ を引くと、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP} =0 $$

である。

内積を座標で表すと、

$$ x^2+y^2-(17x+28y)-(13x+12y)=0 $$

となる。整理して、

$$ x^2+y^2-30x-40y=0 $$

である。

平方完成すると、

$$ \begin{aligned} x^2-30x+y^2-40y&=0\\ (x-15)^2-225+(y-20)^2-400&=0\\ (x-15)^2+(y-20)^2&=625 \end{aligned} $$

よって、点 $P$ の全体は

$$ (x-15)^2+(y-20)^2=25^2 $$

で表される円である。

したがって、中心は $(15,20)$、半径は $25$ である。

解説

この問題では、$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$ が $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$ が $\overrightarrow{BP}$ を表していると見てもよい。ただし、座標計算ではそのまま展開するのが最も速い。

重要なのは、展開後に $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ が両辺で消える点である。すると条件式は $x^2+y^2-30x-40y=0$ となり、平方完成によって円の方程式に直せる。