数学C 平面ベクトル問題 104 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。$OA:OB=2:1$ と，$H$ が $OA$ を $1:2$ に内分することから，$\mathbf{a},\mathbf{b}$ の長さと内積を先に求める。

$H$ は $B$ から $OA$ に下ろした垂線の足であり，$OH:HA=1:2$ であるから，

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\mathbf{a} $$

である。したがって，$\mathbf{b}$ の $\mathbf{a}$ 方向への射影が $\frac{1}{3}\mathbf{a}$ であることより，

$$ \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\mathbf{a}=\frac{1}{3}\mathbf{a} $$

よって，

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\frac{1}{3}|\mathbf{a}|^2 $$

また $OA:OB=2:1$ より，

$$ |\mathbf{b}|=\frac{1}{2}|\mathbf{a}| $$

だから，

$$ |\mathbf{b}|^2=\frac{1}{4}|\mathbf{a}|^2 $$

である。

解法1

点 $C$ は辺 $AB$ を $3:1$ に内分するので，$AC:CB=3:1$ である。内分点の公式より，

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{1\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} $$

である。

(1)

求める内積は，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB} &= \left(\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4}\right)\cdot\mathbf{b} \\ &= \frac{1}{4}\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+3|\mathbf{b}|^2\right) \end{aligned} $$

である。ここに

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\frac{1}{3}|\mathbf{a}|^2,\qquad |\mathbf{b}|^2=\frac{1}{4}|\mathbf{a}|^2 $$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB} &= \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}|\mathbf{a}|^2+3\cdot\frac{1}{4}|\mathbf{a}|^2\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\frac{4}{12}+\frac{9}{12}\right)|\mathbf{a}|^2 \\ &= \frac{13}{48}|\mathbf{a}|^2 \end{aligned} $$

したがって，

$$ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB} = \frac{13}{48}|\overrightarrow{OA}|^2 $$

である。

(2)

点 $D$ は直線 $OC$ 上にあるので，

$$ \overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OC} $$

とおける。すなわち，

$$ \overrightarrow{OD} = t\cdot\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} $$

である。

点 $D$ から $OA$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，$P$ は $OA$ を $5:1$ に内分するので，

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{5}{6}\mathbf{a} $$

である。

一方，$P$ は $D$ の $\mathbf{a}$ 方向への射影であるから，

$$ \frac{\overrightarrow{OD}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}\mathbf{a} = \frac{5}{6}\mathbf{a} $$

である。よって，

$$ \frac{\overrightarrow{OD}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} = \frac{5}{6} $$

である。

ここで，

$$ \begin{aligned} \frac{\overrightarrow{OD}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} &= \frac{1}{|\mathbf{a}|^2} \left\{ t\cdot\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4}\cdot\mathbf{a} \right\} \\ &= \frac{t}{4}\cdot \frac{|\mathbf{a}|^2+3\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2} \\ &= \frac{t}{4}\left(1+3\cdot\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{t}{2} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \frac{t}{2}=\frac{5}{6} $$

より，

$$ t=\frac{5}{3} $$

である。ゆえに，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} &= \frac{5}{3}\cdot\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} \\ &= \frac{5}{12}\mathbf{a}+\frac{5}{4}\mathbf{b} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{5}{12}\overrightarrow{OA} + \frac{5}{4}\overrightarrow{OB} $$

である。

(3)

点 $E$ は半直線 $OC$ 上にあるので，

$$ \overrightarrow{OE}=s\overrightarrow{OC} $$

とおける。ただし $s\geqq 0$ である。

三角形 $OAE$ が $\angle OEA=90^\circ$ の直角三角形であるから，

$$ \overrightarrow{EO}\cdot\overrightarrow{EA}=0 $$

である。ここで，

$$ \overrightarrow{EO}=-\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{EA}=\mathbf{a}-\overrightarrow{OE} $$

だから，

$$ -\overrightarrow{OE}\cdot(\mathbf{a}-\overrightarrow{OE})=0 $$

すなわち，

$$ \overrightarrow{OE}\cdot\mathbf{a} = |\overrightarrow{OE}|^2 $$

である。

まず，

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} $$

より，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\mathbf{a} &= \frac{1}{4}\left(|\mathbf{a}|^2+3\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(1+3\cdot\frac{1}{3}\right)|\mathbf{a}|^2 \\ &= \frac{1}{2}|\mathbf{a}|^2 \end{aligned} $$

また，

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OC}|^2 &= \left|\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4}\right|^2 \\ &= \frac{1}{16}\left(|\mathbf{a}|^2+6\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+9|\mathbf{b}|^2\right) \\ &= \frac{1}{16}\left(1+6\cdot\frac{1}{3}+9\cdot\frac{1}{4}\right)|\mathbf{a}|^2 \\ &= \frac{1}{16}\left(1+2+\frac{9}{4}\right)|\mathbf{a}|^2 \\ &= \frac{21}{64}|\mathbf{a}|^2 \end{aligned} $$

$\overrightarrow{OE}=s\overrightarrow{OC}$ を条件式に代入すると，

$$ s(\overrightarrow{OC}\cdot\mathbf{a}) = s^2|\overrightarrow{OC}|^2 $$

である。$E\neq O$ なので $s\neq 0$ であり，

$$ \overrightarrow{OC}\cdot\mathbf{a} = s|\overrightarrow{OC}|^2 $$

となる。したがって，

$$ \frac{1}{2}|\mathbf{a}|^2 = s\cdot\frac{21}{64}|\mathbf{a}|^2 $$

より，

$$ s=\frac{32}{21} $$

である。

ゆえに，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OE} &= \frac{32}{21}\overrightarrow{OC} \\ &= \frac{32}{21}\cdot\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} \\ &= \frac{8}{21}\mathbf{a}+\frac{8}{7}\mathbf{b} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \overrightarrow{OE} = \frac{8}{21}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{7}\overrightarrow{OB} $$

である。

解説

この問題では，座標を直接置くよりも，$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を基準ベクトルとして内積を整理するのが自然である。

重要なのは，$H$ が垂線の足であることから，$\overrightarrow{OB}$ の $\overrightarrow{OA}$ 方向への射影が $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ になる点である。これにより，

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|^2 $$

が得られる。さらに $OA:OB=2:1$ から $|\overrightarrow{OB}|^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}|^2$ も分かるため，あとは内分点の公式と内積計算に帰着する。

(2) では，垂線の足が $OA$ を $5:1$ に内分するという条件を，「$D$ の $\overrightarrow{OA}$ 方向への射影が $\frac{5}{6}\overrightarrow{OA}$ である」と読み替えるのが要点である。

(3) では，$\angle OEA=90^\circ$ から $\overrightarrow{EO}\cdot\overrightarrow{EA}=0$ を立てる。$E$ が半直線 $OC$ 上にあるので $\overrightarrow{OE}=s\overrightarrow{OC}$ とおけば，$s$ だけを求める問題になる。