数学C 平面ベクトル 問題 106 解説

方針・初手

点 $C,D$ はそれぞれ「ある直線に平行」かつ「原点 $O$ からの距離が等しい」という条件で定まる。

したがって、まず平行条件から $\vec{c},\vec{d}$ を $\vec{a},\vec{b}$ の一次結合で表し、その係数を長さの条件で決める。

解法1

$\overrightarrow{BC} // \overrightarrow{OA}$ より、ある実数 $t$ を用いて

$$ \vec{c}-\vec{b}=t\vec{a} $$

とおける。すなわち

$$ \vec{c}=\vec{b}+t\vec{a} $$

である。

また、$\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}$ より $\vec{b}\ne \vec{c}$ だから、$t\ne 0$ である。

条件 $|\vec{b}|=|\vec{c}|$ より、

$$ |\vec{b}|^2=|\vec{b}+t\vec{a}|^2 $$

である。右辺を展開すると

$$ |\vec{b}+t\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{a}|^2 $$

であるから、

$$ 2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{a}|^2=0 $$

となる。よって

$$ t\left(2\vec{a}\cdot\vec{b}+t|\vec{a}|^2\right)=0 $$

である。$t\ne 0$ より、

$$ t=-\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \vec{c} = \vec{b} \\ \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \end{aligned} $$

である。

同様に、$\overrightarrow{AD} // \overrightarrow{OB}$ より、ある実数 $s$ を用いて

$$ \vec{d}-\vec{a}=s\vec{b} $$

とおける。すなわち

$$ \vec{d}=\vec{a}+s\vec{b} $$

である。

また、$\overrightarrow{OA}\ne \overrightarrow{OD}$ より $\vec{a}\ne \vec{d}$ だから、$s\ne 0$ である。

条件 $|\vec{a}|=|\vec{d}|$ より、

$$ |\vec{a}|^2=|\vec{a}+s\vec{b}|^2 $$

である。右辺を展開すると

$$ |\vec{a}+s\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+2s\vec{a}\cdot\vec{b}+s^2|\vec{b}|^2 $$

であるから、

$$ 2s\vec{a}\cdot\vec{b}+s^2|\vec{b}|^2=0 $$

となる。$s\ne 0$ より、

$$ s=-\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \vec{d} = \vec{a} \\ \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} \end{aligned} $$

である。

次に、$\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}$ とする。このとき、上で得た式と比較して

$$ \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} \\ \vec{a}+\vec{b} \end{aligned} $$

である。$\vec{b}\ne \vec{0}$ だから、係数を比較して

$$ -\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}=1 $$

となる。よって

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} = -\frac{|\vec{b}|^2}{2} $$

である。

一方、

$$ \begin{aligned} \vec{c} = \vec{b} \\ \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \end{aligned} $$

に代入すると、

$$ \vec{c} = \vec{b} + \frac{|\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2}\vec{a} $$

となる。

これが $\vec{c}=n\vec{a}+\vec{b}$ に等しいので、

$$ n=\frac{|\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} $$

である。したがって

$$ \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{n}} $$

である。

最後に、$\vec{a},\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。上で得た

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} = -\frac{|\vec{b}|^2}{2} $$

を用いると、

$$ |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -\frac{|\vec{b}|^2}{2} $$

である。よって

$$ \cos\theta = -\frac{|\vec{b}|}{2|\vec{a}|} $$

となる。

また、

$$ \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{n}} $$

であるから、

$$ \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = \sqrt{n} $$

である。したがって

$$ \cos\theta = -\frac{\sqrt{n}}{2} $$

となる。

$n$ が自然数のとき、角 $\theta$ が存在するには

$$ -1\le -\frac{\sqrt{n}}{2}\le 1 $$

が必要である。$n$ は自然数だから、

$$ \sqrt{n}\le 2 $$

より

$$ n\le 4 $$

である。

したがって候補は

$$ n=1,2,3,4 $$

である。

ただし、$n=4$ のとき

$$ \cos\theta=-1 $$

となり、$\theta=\pi$ である。これは $O,A,B$ が同一直線上にあることを意味し、条件に反する。

よって

$$ n=1,2,3 $$

である。それぞれについて、

$$ \begin{aligned} n=1 &\Rightarrow \cos\theta=-\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3},\\ n=2 &\Rightarrow \cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta=\frac{3\pi}{4},\\ n=3 &\Rightarrow \cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、平行条件を使って点の位置ベクトルを

$$ \vec{c}=\vec{b}+t\vec{a},\qquad \vec{d}=\vec{a}+s\vec{b} $$

とおくことである。

その後、長さが等しい条件を内積で処理する。特に

$$ |\vec{x}|=|\vec{y}| $$

は、両辺を2乗して

$$ |\vec{x}|^2=|\vec{y}|^2 $$

とするのが基本である。

また、$\angle AOB$ が直角でないという条件により、$\vec{a}\cdot\vec{b}\ne 0$ である。このため、$C,D$ がそれぞれ $B,A$ と一致しない点として定まる。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} \vec{c} = \vec{b} \\ \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \vec{d} = \vec{a} \\ \frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} \end{aligned} $$

(2)

$$ \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{n}} $$

(3)

$$ (n,\theta) = \left(1,\frac{2\pi}{3}\right), \left(2,\frac{3\pi}{4}\right), \left(3,\frac{5\pi}{6}\right) $$