数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 5 解説

方針・初手

まず $\vec a,\vec b$ が一次独立であることを確認し、$\vec c=x\vec a+y\vec b$ とおく。内積をとれば $x,y$ が求まる。

垂線の足は「直線上の点」と「垂直条件」で決める。最後の最小値問題では、条件 $(s+t-1)(s+3t-3)\leqq 0$ が、$s,t$ 平面上で2直線

$$ s+t=1,\qquad s+3t=3 $$

に挟まれる領域を表すことを利用する。

解法1

まず

$$ |\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2 =2\cdot 10-2^2=16>0 $$

であるから、$\vec a,\vec b$ は一次独立である。したがって、$\vec c$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合で一意に表せる。

(1)

$$ \vec c=x\vec a+y\vec b $$

とおく。両辺と $\vec a,\vec b$ との内積をとる。

まず $\vec a$ との内積より

$$ \vec a\cdot \vec c =x|\vec a|^2+y(\vec a\cdot \vec b) =2x+2y $$

である。$\vec a\cdot \vec c=8$ なので、

$$ 2x+2y=8 $$

すなわち

$$ x+y=4 $$

を得る。

次に $\vec b$ との内積より

$$ \vec b\cdot \vec c =x(\vec a\cdot \vec b)+y|\vec b|^2 =2x+10y $$

である。$\vec b\cdot \vec c=20$ なので、

$$ 2x+10y=20 $$

すなわち

$$ x+5y=10 $$

を得る。

よって

$$ \begin{aligned} x+y&=4,\\ x+5y&=10 \end{aligned} $$

を解いて、

$$ y=\frac{3}{2},\qquad x=\frac{5}{2} $$

である。したがって

$$ \vec c=\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b $$

である。

(2)

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるから、実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH} =\vec a+u(\vec b-\vec a) $$

と表せる。

また、$CH$ は直線 $AB$ に垂直であるから、

$$ (\vec c-\overrightarrow{OH})\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \vec c-\vec a =\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b-\vec a =\frac{3}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b =\frac{3}{2}(\vec a+\vec b) $$

であり、

$$ |\vec b-\vec a|^2 =|\vec b|^2-2\vec a\cdot \vec b+|\vec a|^2 =10-4+2=8 $$

である。また、

$$ \begin{aligned} (\vec c-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a) &=\frac{3}{2}(\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=\frac{3}{2}\{(\vec a\cdot \vec b-|\vec a|^2)+(|\vec b|^2-\vec a\cdot \vec b)\}\\ &=\frac{3}{2}\{(2-2)+(10-2)\}\\ &=12 \end{aligned} $$

である。

垂直条件は

$$ {(\vec c-\vec a)-u(\vec b-\vec a)}\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

だから、

$$ 12-8u=0 $$

より

$$ u=\frac{3}{2} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OH} =\vec a+\frac{3}{2}(\vec b-\vec a) =-\frac{1}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b $$

である。

さらに

$$ \overrightarrow{CH} =\overrightarrow{OH}-\vec c =\left(-\frac{1}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b\right) -\left(\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b\right) =-3\vec a $$

より、

$$ |\overrightarrow{CH}| =3|\vec a| =3\sqrt{2} $$

である。

(3)

点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP}=s\vec a+t\vec b $$

で定められる。点 $C$ は

$$ \vec c=\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b $$

であるから、$s,t$ 平面で点 $C$ に対応する座標は

$$ \left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right) $$

である。

条件

$$ (s+t-1)(s+3t-3)\leqq 0 $$

の境界は

$$ s+t=1,\qquad s+3t=3 $$

である。

点 $C$ に対応する $(s,t)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$ について、

$$ s+t-1=3,\qquad s+3t-3=4 $$

であり、どちらも正である。したがって、条件を満たす領域へ行くには、少なくともどちらか一方の境界直線を越えなければならない。

よって $|CP|$ の最小値は、点 $C$ から2本の境界直線への距離のうち小さい方である。

まず

$$ s+t=1 $$

は直線 $AB$ を表す。したがって、点 $C$ からこの直線への距離は、(2)より

$$ 3\sqrt{2} $$

である。

次に

$$ s+3t=3 $$

を考える。この直線上の点は

$$ s=3-3t $$

より、

$$ \overrightarrow{OP}=(3-3t)\vec a+t\vec b =3\vec a+t(\vec b-3\vec a) $$

と表せる。したがって、この直線は点 $3A$ と点 $B$ を通る直線であり、方向ベクトルは

$$ \vec b-3\vec a $$

である。

点 $B$ を基準にして、点 $C$ からこの直線への垂線の足を $K$ とし、

$$ \overrightarrow{OK} =\vec b+\lambda(\vec b-3\vec a) $$

とおく。垂直条件より

$$ {\vec c-\vec b-\lambda(\vec b-3\vec a)}\cdot(\vec b-3\vec a)=0 $$

である。

ここで

$$ \vec c-\vec b =\frac{5}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b $$

であるから、

$$ \begin{aligned} (\vec c-\vec b)\cdot(\vec b-3\vec a) &=\left(\frac{5}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b\right)\cdot(\vec b-3\vec a)\\ &=\frac{5}{2}(2-6)+\frac{1}{2}(10-6)\\ &=-10+2\\ &=-8 \end{aligned} $$

また、

$$ |\vec b-3\vec a|^2 =|\vec b|^2-6\vec a\cdot\vec b+9|\vec a|^2 =10-12+18=16 $$

である。

よって

$$ -8-16\lambda=0 $$

より

$$ \lambda=-\frac{1}{2} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OK} =\vec b-\frac{1}{2}(\vec b-3\vec a) =\frac{3}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b $$

である。

このとき

$$ \vec c-\overrightarrow{OK} =\left(\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b\right) -\left(\frac{3}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b\right) =\vec a+\vec b $$

だから、

$$ \begin{aligned} |CK|^2 &=|\vec a+\vec b|^2\\ &=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\\ &=2+4+10\\ &=16 \end{aligned} $$

より、

$$ |CK|=4 $$

である。

したがって、2本の境界直線への距離は

$$ 3\sqrt{2},\qquad 4 $$

であり、

$$ 4<3\sqrt{2} $$

だから、$|CP|$ の最小値は

$$ 4 $$

である。

解説

この問題の中心は、内積条件から位置ベクトルの係数を決めることである。$\vec a,\vec b$ が一次独立であるため、$\vec c$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合として一意に表せる。

(2)では、垂線の足を直線上の点としておき、方向ベクトル $\vec b-\vec a$ との内積が $0$ になる条件を使えばよい。

(3)では、$s,t$ の条件をそのまま扱うより、境界直線

$$ s+t=1,\qquad s+3t=3 $$

に着目するのが自然である。点 $C$ はこの2本の直線で分けられた領域の外側にあるため、最短距離は境界直線への距離を比べればよい。

答え

(1)

$$ \vec c=\frac{5}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b $$

(2)

$$ \overrightarrow{OH} =-\frac{1}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b $$

$$ |CH|=3\sqrt{2} $$

(3)

$$ |CP|_{\min}=4 $$