数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 6 解説

方針・初手

点 $P$ の位置を、基準点 $A$ からの位置ベクトル $\overrightarrow{AP}$ で表す。

与えられた条件

$$ 2\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} $$

に対して、$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ をすべて $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で書き直す。

解法1

$\overrightarrow{AP}=\vec{p}$ とおく。また、

$$ \overrightarrow{AB}=\vec{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\vec{c} $$

とおく。

このとき、

$$ \overrightarrow{PA}=-\vec{p} $$

であり、

$$ \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP} =\vec{b}-\vec{p} $$

$$ \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} =\vec{c}-\vec{p} $$

である。

したがって、条件式に代入すると、

$$ 2(-\vec{p})+x(\vec{b}-\vec{p})+y(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0} $$

となる。整理して、

$$ x\vec{b}+y\vec{c}-(2+x+y)\vec{p}=\vec{0} $$

である。

ここで $x+y=1$ より、

$$ 2+x+y=3 $$

だから、

$$ 3\vec{p}=x\vec{b}+y\vec{c} $$

となる。さらに $y=1-x$ なので、

$$ \vec{p}=\frac{1}{3}{x\vec{b}+(1-x)\vec{c}} $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{AP} =\frac{1}{3}{x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AC}} $$

となる。

次に、$x,y\geqq 0$ かつ $x+y=1$ より、

$$ 0\leqq x\leqq 1 $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{AP} =\frac{1}{3}{x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AC}} $$

は、点 $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ と点 $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ を結ぶ線分上を動く。

すなわち、点 $P$ の描く図形は、$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ で表される点と、$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ で表される点を結ぶ線分である。

この線分の長さは、$\overline{BC}$ の長さを $\frac{1}{3}$ 倍したものになる。実際、

$$ \left|\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right| =\frac{1}{3}\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right| $$

である。

ここで、

$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{CB} $$

だから、

$$ \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right| =BC=6 $$

である。よって、点 $P$ の描く線分の長さは

$$ \frac{1}{3}\cdot 6=2 $$

である。

解説

この問題では、まず $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ をすべて $\overrightarrow{AP}$ を用いて表すことが重要である。

条件 $x+y=1$ があるため、分母が $2+x+y=3$ と一定になる。その結果、$\overrightarrow{AP}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の一次結合として簡単に表される。

また、$x,y\geqq 0,\ x+y=1$ は、$x$ が $0$ から $1$ まで動くことを意味する。したがって点 $P$ は、2点 $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ と $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ を結ぶ線分上を動く。

この線分は辺 $BC$ と平行で、長さは $BC$ の $\frac{1}{3}$ 倍になる。

答え

$$ \overrightarrow{AP} =\frac{1}{3}\{x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AC}\} $$

したがって、

$$ \boxed{[ク]=x,\qquad [ケ]=1-x} $$

また、点 $P$ の描く線分の長さは

$$ \boxed{2} $$

である。