トップ› 基礎問題› 数学C› 平面ベクトル› 平面ベクトル(斜交座標)› 問題 7

数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 7 解説

方針・初手

$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ がそれぞれどの範囲を動くかを確認し、それらを新しい文字で置く。すると、点 $P$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合として表されるので、係数の動く長方形を座標平面上へ写した領域を考えればよい。

解法1

$0\leq \alpha \leq \pi$ より、

$$ -1\leq \cos\alpha \leq 1 $$

である。また、$0\leq \beta \leq \pi$ より、

$$ 0\leq \sin\beta \leq 1 $$

である。

そこで、

$$ s=\cos\alpha,\qquad t=\sin\beta $$

とおくと、

$$ -1\leq s\leq 1,\qquad 0\leq t\leq 1 $$

であり、

$$ \overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} $$

となる。

いま、

$$ \overrightarrow{OA}=(-1,2),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,1) $$

であるから、

$$ (u,v)=s(-1,2)+t(2,1) $$

である。よって、

$$ \begin{cases} u=-s+2t,\\ v=2s+t \end{cases} $$

を得る。

この式から $s,t$ を $u,v$ で表す。連立方程式

$$ \begin{cases} u=-s+2t,\\ v=2s+t \end{cases} $$

を解くと、

$$ s=\frac{-u+2v}{5},\qquad t=\frac{2u+v}{5} $$

となる。

したがって、条件 $-1\leq s\leq 1,\ 0\leq t\leq 1$ は、

$$ -1\leq \frac{-u+2v}{5}\leq 1 $$

および

$$ 0\leq \frac{2u+v}{5}\leq 1 $$

と書ける。すなわち、

$$ -5\leq -u+2v\leq 5 $$

かつ

$$ 0\leq 2u+v\leq 5 $$

である。

よって、点 $P(u,v)$ の存在する領域は、直線

$$ -u+2v=-5,\quad -u+2v=5,\quad 2u+v=0,\quad 2u+v=5 $$

で囲まれる平行四辺形である。

頂点を求めるために、$(s,t)$ の長方形

$$ -1\leq s\leq 1,\qquad 0\leq t\leq 1 $$

の四隅を写す。

(i)

$s=-1,\ t=0$ のとき、

$$ (u,v)=(-1)(-1,2)+0(2,1)=(1,-2) $$

(ii)

$s=1,\ t=0$ のとき、

$$ (u,v)=1(-1,2)+0(2,1)=(-1,2) $$

(iii)

$s=1,\ t=1$ のとき、

$$ (u,v)=1(-1,2)+1(2,1)=(1,3) $$

(iv)

$s=-1,\ t=1$ のとき、

$$ (u,v)=(-1)(-1,2)+1(2,1)=(3,-1) $$

したがって、求める領域は、4点

$$ (1,-2),\quad (-1,2),\quad (1,3),\quad (3,-1) $$

を頂点とする平行四辺形の周および内部である。

解説

この問題では、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の動く範囲が異なる点に注意する。

$\cos\alpha$ は $0\leq\alpha\leq\pi$ で $[-1,1]$ 全体を動く。一方、$\sin\beta$ は $0\leq\beta\leq\pi$ で $[0,1]$ 全体を動く。したがって、係数の範囲は正方形ではなく、$s$ 方向に $[-1,1]$、$t$ 方向に $[0,1]$ をもつ長方形になる。

また、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は平行でないので、この長方形は $xy$ 平面上で平行四辺形に写される。境界線を不等式で表すなら、

$$ -5\leq -u+2v\leq 5,\qquad 0\leq 2u+v\leq 5 $$

である。