数学C 平面の位置ベクトル問題 3 解説

方針・初手

点 $P$ を基準にして、$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ をベクトルとして扱う。条件

$$ 2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} $$

から、まず $\overrightarrow{PA}$ を $\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ で表す。さらに、$D$ は直線 $AP$ 上かつ辺 $BC$ 上にあるので、この2通りの表し方を一致させる。

解法1

条件より、

$$ 2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{PA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC} $$

である。

(1)

点 $D$ は辺 $BC$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{PD} = (1-t)\overrightarrow{PB}+t\overrightarrow{PC} $$

と表せる。

一方、点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{PD}=s\overrightarrow{PA} $$

と表せる。したがって、

$$ \overrightarrow{PD} = s\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\right) = -\frac{s}{2}\overrightarrow{PB}-s\overrightarrow{PC} $$

である。

これが辺 $BC$ 上の点を表すには、$\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ の係数の和が $1$ であればよい。よって、

$$ -\frac{s}{2}-s=1 $$

より、

$$ -\frac{3s}{2}=1 $$

したがって、

$$ s=-\frac{2}{3} $$

である。ゆえに、

$$ \overrightarrow{PD} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{PA} $$

であり、これに $\overrightarrow{PA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{PD} = -\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PC} $$

となる。

したがって、

$$ \overrightarrow{PD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PC} $$

である。

(2)

点 $P$ を原点とみなし、簡単のため

$$ \overrightarrow{PA}=\mathbf{a},\quad \overrightarrow{PB}=\mathbf{b},\quad \overrightarrow{PC}=\mathbf{c} $$

とおく。

$E,F,G$ はそれぞれ $\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$ の重心であるから、

$$ \overrightarrow{PE} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{3}, \quad \overrightarrow{PF} = \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}, \quad \overrightarrow{PG} = \frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{3} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE} &= \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3} - \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{3} = \frac{\mathbf{c}-\mathbf{a}}{3} \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA} = \mathbf{c}-\mathbf{a} $$

だから、

$$ \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{AC} $$

であり、

$$ k=\frac{1}{3} $$

である。

(3)

まず、(2) と同様に

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{PG}-\overrightarrow{PE} &= \frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{3} - \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{3} = \frac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{3} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \end{aligned} $$

である。

したがって、$\triangle EFG$ は $\triangle ABC$ と対応する2辺の長さの比が $1:3$ であるから、面積比は

$$ \triangle EFG:\triangle ABC=1:9 $$

である。よって、

$$ [EFG]=\frac{1}{9}[ABC] $$

である。

次に、$P$ の位置を調べる。条件

$$ 2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} $$

は、点 $P$ が三角形 $ABC$ において重み $2,1,2$ の重心であることを表す。したがって、

$$ P=\frac{2A+B+2C}{5} $$

である。

よって、$\triangle PBC$ の面積は、頂点 $A$ に対応する重み $\frac{2}{5}$ に等しいので、

$$ [PBC]=\frac{2}{5}[ABC] $$

である。

また、(1) より

$$ \overrightarrow{PD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{PB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{PC} $$

であるから、点 $D$ は辺 $BC$ を

$$ BD:DC=2:1 $$

に内分する。したがって、

$$ DC=\frac{1}{3}BC $$

である。

$\triangle PDC$ と $\triangle PBC$ は、高さが共通で、底辺がそれぞれ $DC,BC$ であるから、

$$ [PDC] = \frac{DC}{BC}[PBC] = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}[ABC] = \frac{2}{15}[ABC] $$

である。

よって、

$$ [EFG]:[PDC] = \frac{1}{9}[ABC]:\frac{2}{15}[ABC] = \frac{1}{9}:\frac{2}{15} = 5:6 $$

である。

解説

この問題では、点 $P$ を基準にしたベクトル表示を使うと処理が簡潔になる。特に、点 $D$ は「直線 $AP$ 上」と「辺 $BC$ 上」という2つの条件を同時に満たすので、$\overrightarrow{PD}=s\overrightarrow{PA}$ と、$\overrightarrow{PD}$ を $\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ の係数和 $1$ の形で表すことが重要である。

また、重心のベクトル表示は、各頂点の位置ベクトルの平均である。$E,F,G$ を $P$ 基準で表すと、$\overrightarrow{EF}$ がすぐに $\overrightarrow{AC}$ の定数倍になる。

面積比では、$\triangle EFG$ が $\triangle ABC$ に対して長さの比 $1:3$ の図形になっていること、さらに $P$ の重心座標が $2:1:2$ であることを利用するのが自然である。