数学C 平面の位置ベクトル問題 4 解説

方針・初手

与えられた式には $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{CP}$ が混在しているので、まず $\overrightarrow{BP},\overrightarrow{CP}$ を $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表す。

面積比は、点 $P$ が三角形の内部にあることを示した後、$\overrightarrow{AP}$ の係数から求める。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC} $$

である。

これを

$$ r\overrightarrow{AP}+s\overrightarrow{BP}+t\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0} $$

に代入すると、

$$ r\overrightarrow{AP} +s(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}) +t(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0} $$

となる。よって、

$$ (r+s+t)\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC} $$

を得る。

ここで $r,s,t$ は正の定数であるから、

$$ \frac{s}{r+s+t}>0, \qquad \frac{t}{r+s+t}>0 $$

であり、さらに

$$ \frac{s}{r+s+t}+\frac{t}{r+s+t} = \frac{s+t}{r+s+t} <1 $$

である。

したがって、$\overrightarrow{AP}$ は

$$ \overrightarrow{AP} = u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC} $$

ただし

$$ u>0,\quad v>0,\quad u+v<1 $$

の形で表される。これは点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあることを表す条件である。よって、点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にある。

次に面積比を求める。

上で得た式より、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC} $$

である。

$\triangle PAB$ の面積を考えると、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AP}$ がつくる三角形の面積であるから、

$$ \begin{aligned} [\triangle PAB] &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times \left( \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC} \right) \right| \\ &= \frac{t}{r+s+t} \cdot \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right| \\ &= \frac{t}{r+s+t}[\triangle ABC]. \end{aligned} $$

同様に、重心座標の対応から、

$$ [\triangle PBC] = \frac{r}{r+s+t}[\triangle ABC], \qquad [\triangle PCA] = \frac{s}{r+s+t}[\triangle ABC] $$

である。

したがって、

$$ \triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = t:r:s $$

である。

解説

この問題の核心は、与えられたベクトル方程式を $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ だけで書き直すことである。

得られる式

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC} $$

は、点 $P$ の三角形内での位置を表す標準形である。係数がともに正で、その和が $1$ より小さいため、$P$ は三角形の内部にある。

また、点 $P$ の重心座標は

$$ \left( \frac{r}{r+s+t}, \frac{s}{r+s+t}, \frac{t}{r+s+t} \right) $$

である。このとき、各係数はそれぞれ向かい側の小三角形の面積比に対応する。したがって、$\triangle PAB$ は頂点 $C$ の係数 $t$ に対応し、$\triangle PBC$ は頂点 $A$ の係数 $r$ に対応し、$\triangle PCA$ は頂点 $B$ の係数 $s$ に対応する。