数学C 平面の位置ベクトル 問題 5 解説

方針・初手

点 $P$ の条件は、位置ベクトルを用いると $P$ を $A,B,C$ の重み付き平均として表せる。まず $P$ の位置を求め、そこから直線 $AP$ と $BC$ の交点 $Q$ を読み取る。

解法1

点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。

条件

$$ 2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\vec{0} $$

より、

$$ 2(\vec{p}-\vec{a})+3(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0} $$

である。整理すると、

$$ 9\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c} $$

したがって、

$$ \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9} $$

である。

ここで、点 $Q$ を

$$ \vec{q}=\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7} $$

で定めると、

$$ \vec{p} = \frac{2\vec{a}+7\vec{q}}{9} $$

と書ける。これは、$P$ が直線 $AQ$ 上にあることを表している。

また、

$$ \vec{q}=\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7} $$

であるから、$Q$ は辺 $BC$ 上の点である。内分点の公式より、$Q$ は $BC$ を

$$ BQ:QC=4:3 $$

に内分する。

次に面積比を求める。

$A,P,Q$ は一直線上にあり、$Q$ は直線 $BC$ 上にある。また

$$ \vec{p} = \frac{2\vec{a}+7\vec{q}}{9} $$

より、$P$ は $AQ$ を

$$ AP:PQ=7:2 $$

に内分する。したがって、

$$ \frac{PQ}{AQ}=\frac{2}{9} $$

である。

三角形 $ABC$ と三角形 $PBC$ は、底辺 $BC$ を共有する。よって面積比は、$A$ と $P$ から直線 $BC$ までの高さの比に等しい。

さらに、$A,P,Q$ は一直線上にあり、$Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、$A$ と $P$ から直線 $BC$ までの距離の比は

$$ AQ:PQ=9:2 $$

に等しい。

したがって、

$$ \triangle ABC:\triangle PBC=9:2 $$

である。

解説

この問題の中心は、条件式を位置ベクトルに直して、$P$ を $A,B,C$ の重み付き平均として表すことである。

$$ \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9} $$

のうち、$\vec{b},\vec{c}$ の部分をまとめると

$$ \frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7} $$

が現れる。これが直線 $BC$ 上の点 $Q$ の位置ベクトルであり、そこから $Q$ の内分比が分かる。

面積比では、底辺 $BC$ を共通に見るのが自然である。高さの比は、直線 $AP$ と $BC$ の交点 $Q$ を基準にして $AQ:PQ$ に置き換えられる。

答え

(1)

$Q$ は $BC$ を

$$ BQ:QC=4:3 $$

に内分する。

(2)

$$ \triangle ABC:\triangle PBC=9:2 $$