数学C 平面の位置ベクトル問題 6 解説

方針・初手

点 $P$ の条件式には $\overrightarrow{BP}$ と $\overrightarrow{CP}$ が含まれているので、まずこれらを $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ で表す。

その後、直線 $CP$ 上の点をパラメータで表し、直線 $AB$ 上にある条件から交点 $Q$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$、$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$、$\overrightarrow{AP}=\mathbf{p}$ とおく。

このとき、

$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP} -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP} \mathbf{p}-\mathbf{b} $$

また、

$$ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP} -\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP} \mathbf{p}-\mathbf{c} $$

である。

条件

$$ \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\mathbf{0} $$

に代入すると、

$$ \mathbf{p}+2(\mathbf{p}-\mathbf{b})+3(\mathbf{p}-\mathbf{c})=\mathbf{0} $$

となる。整理して、

$$ 6\mathbf{p}-2\mathbf{b}-3\mathbf{c}=\mathbf{0} $$

より、

$$ \mathbf{p} = \frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{c} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

である。

次に、直線 $CP$ と直線 $AB$ の交点を $Q$ とする。

$Q$ は直線 $CP$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{CP} $$

と表せる。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC} \\ \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AC} \\ \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AQ} &= \overrightarrow{AC} + t\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right) \\ &= \frac{t}{3}\overrightarrow{AB} + \left(1-\frac{t}{2}\right)\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

となる。

一方、$Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{AQ}$ は $\overrightarrow{AB}$ のみで表される。したがって、$\overrightarrow{AC}$ の係数が $0$ でなければならない。

よって、

$$ 1-\frac{t}{2}=0 $$

より、

$$ t=2 $$

である。

これを代入すると、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} $$

となる。

したがって、

$$ k=\frac{2}{3} $$

である。

解説

この問題では、基準点を $A$ にそろえてベクトルを表すことが重要である。

$\overrightarrow{BP}$ や $\overrightarrow{CP}$ をそのまま扱うと見通しが悪いが、$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ に直すと、条件式からすぐに $\overrightarrow{AP}$ が求まる。

また、交点 $Q$ を求める場面では、$Q$ が直線 $CP$ 上にあることと、直線 $AB$ 上にあることを同時に使う。直線 $AB$ 上の点は $\overrightarrow{AB}$ のみで表されるため、$\overrightarrow{AC}$ の係数を $0$ にするのが典型的な処理である。