数学C 平面の位置ベクトル問題 7 解説

方針・初手

点 $P$ を含むベクトル方程式は、すべて $\overrightarrow{AP}$ $\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AC}$ で表すと処理しやすい。

特に

$$ \overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP},\quad \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP},\quad \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} $$

とおくのが初手である。

解法1

与えられた条件は

$$ 4\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} $$

である。

ここで、$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ を $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表すと、

$$ \overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP} $$

$$ \overrightarrow{PB} =\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB} =-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP} $$

$$ \overrightarrow{PC} =\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC} =-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} $$

である。

これらを条件式に代入する。

$$ 4(-\overrightarrow{AP}) +5(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}) +3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}) =\overrightarrow{0} $$

整理すると、

$$ -4\overrightarrow{AP} +5\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AP} +3\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AP} =\overrightarrow{0} $$

したがって、

$$ -12\overrightarrow{AP} +5\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{0} $$

より、

$$ 12\overrightarrow{AP} = 5\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AC} $$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{12}\overrightarrow{AC} = \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} $$

である。

次に面積比を求める。

三角形 $ABC$ の面積を $S$ とする。また

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{12}\overrightarrow{AC} $$

であるから、点 $P$ は $\overrightarrow{AB}$ 方向に $\frac{5}{12}$、$\overrightarrow{AC}$ 方向に $\frac{3}{12}$ だけ進んだ位置にある。

まず、$\triangle PAB$ について考える。$\triangle PAB$ は底辺を $AB$ と見ると、点 $P$ の $AB$ からの高さは、点 $C$ の $AB$ からの高さの $\frac{3}{12}$ 倍である。したがって、

$$ [ \triangle PAB ] = \frac{3}{12}S $$

である。

次に、$\triangle PCA$ について考える。底辺を $CA$ と見ると、点 $P$ の $CA$ からの高さは、点 $B$ の $CA$ からの高さの $\frac{5}{12}$ 倍である。したがって、

$$ [ \triangle PCA ] = \frac{5}{12}S $$

である。

最後に、$\triangle PBC$ は残りの部分なので、

$$ [ \triangle PBC ] = S-\frac{3}{12}S-\frac{5}{12}S = \frac{4}{12}S $$

となる。

よって、

$$ \triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = \frac{3}{12}S:\frac{4}{12}S:\frac{5}{12}S = 3:4:5 $$

である。

解説

この問題では、$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ を直接扱うよりも、基準点を $A$ にそろえて $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表すのが自然である。

また、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{12}\overrightarrow{AC} $$

の形から、面積比も読み取れる。係数 $\frac{5}{12}$ $\frac{3}{12}$ は、それぞれ辺 $CA$ 辺 $AB$ を底辺としたときの高さの比に対応する。

ただし、求める順番は $\triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA$ であり、係数をそのまま順に並べると誤る。$\triangle PAB$ は $\overrightarrow{AC}$ の係数、$\triangle PCA$ は $\overrightarrow{AB}$ の係数に対応し、$\triangle PBC$ は残りである。