数学C 平面の位置ベクトル 問題 8 解説

方針・初手

条件式を位置ベクトルで処理し、まず $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表す。次に、$D$ が辺 $BC$ 上にあることから、$\overrightarrow{AD}$ の $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の係数の和が $1$ になることを利用する。

解法1

点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。

条件より、

$$ 7(\vec{a}-\vec{p})+5(\vec{b}-\vec{p})+3(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0} $$

である。整理すると、

$$ 7\vec{a}+5\vec{b}+3\vec{c}-15\vec{p}=\vec{0} $$

だから、

$$ \vec{p}=\frac{7\vec{a}+5\vec{b}+3\vec{c}}{15} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &=\vec{p}-\vec{a} \\ &=\frac{7\vec{a}+5\vec{b}+3\vec{c}}{15}-\vec{a} \\ &=\frac{5(\vec{b}-\vec{a})+3(\vec{c}-\vec{a})}{15} \\ &=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

となる。

次に、$D$ は辺 $BC$ 上の点であるから、$\overrightarrow{AD}$ は

$$ \overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

と表され、係数について

$$ s+t=1 $$

を満たす。

ここで、$A,P,D$ は一直線上にあるので、ある正の数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD} $$

と書ける。よって、

$$ \overrightarrow{AD}=\frac{1}{k}\overrightarrow{AP} =\frac{1}{3k}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5k}\overrightarrow{AC} $$

である。$\overrightarrow{AD}$ の係数の和は $1$ だから、

$$ \frac{1}{3k}+\frac{1}{5k}=1 $$

となる。したがって、

$$ \frac{8}{15k}=1 $$

より、

$$ k=\frac{8}{15} $$

である。ゆえに、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{8}{15}\overrightarrow{AD} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{AD} =\frac{15}{8}\overrightarrow{AP} =\frac{15}{8}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\right) =\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC} $$

である。したがって、$D$ は辺 $BC$ を

$$ BD:DC=3:5 $$

に内分する。

さらに、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{8}{15}\overrightarrow{AD} $$

より、$P$ は $AD$ を

$$ AP:PD=8:7 $$

に内分する。

最後に、面積比を求める。$\overrightarrow{AP}$ における $\overrightarrow{AC}$ の係数が $\frac{1}{5}$ であるから、

$$ \frac{[ABP]}{[ABC]}=\frac{1}{5} $$

である。

解説

この問題では、重み付きのベクトル条件

$$ 7\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec{0} $$

から、点 $P$ の位置を三角形 $ABC$ の内部の重心座標として読み取ることが重要である。

$\overrightarrow{AP}$ を

$$ \overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} $$

と表したとき、$P$ が直線 $AD$ 上にあり、$D$ が辺 $BC$ 上にあるなら、$\overrightarrow{AD}$ の係数の和は $1$ になる。この性質を使うと、$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AD}$ の比が自然に決まる。

また、面積比は、$\overrightarrow{AB}$ を共通の底辺と見れば、$\overrightarrow{AP}$ の $\overrightarrow{AC}$ 方向の係数だけで求められる。

答え

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{8}{15}\overrightarrow{AD} $$

$P$ は $AD$ を

$$ 8:7 $$

に内分する。

$D$ は $BC$ を

$$ 3:5 $$

に内分する。

したがって、$\triangle ABP$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の

$$ \frac{1}{5} $$

倍である。