数学C 平面の位置ベクトル 問題 10 解説

方針・初手

点 $A$ を基準にして、$\vec{AB}=\mathbf{b}$、$\vec{AC}=\mathbf{c}$、$\vec{AP}=\mathbf{p}$ とおく。与えられたベクトル方程式からまず $\mathbf{p}$ を $\mathbf{b},\mathbf{c}$ で表す。

解法1

点 $A$ を原点とみなし、

$$ \vec{AB}=\mathbf{b},\quad \vec{AC}=\mathbf{c},\quad \vec{AP}=\mathbf{p} $$

とおく。

このとき、

$$ \vec{BP}=\mathbf{p}-\mathbf{b},\quad \vec{CP}=\mathbf{p}-\mathbf{c} $$

である。条件

$$ 4\vec{AP}-6\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0} $$

に代入すると、

$$ 4\mathbf{p}-6(\mathbf{p}-\mathbf{b})+(\mathbf{p}-\mathbf{c})=\mathbf{0} $$

である。整理して、

$$ -\mathbf{p}+6\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0} $$

より、

$$ \mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c} $$

を得る。

(1)

直線 $AB$ 上の点は、ある実数 $t$ を用いて

$$ \vec{AQ}=t\mathbf{b} $$

と表せる。

また、$Q$ は直線 $PC$ 上にもあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ \vec{AQ}=\mathbf{p}+\lambda(\mathbf{c}-\mathbf{p}) $$

と表せる。ここで $\mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c}$ だから、

$$ \begin{aligned} \vec{AQ} &=6\mathbf{b}-\mathbf{c}+\lambda{\mathbf{c}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})} \\ &=6\mathbf{b}-\mathbf{c}+\lambda(-6\mathbf{b}+2\mathbf{c}) \\ &=(6-6\lambda)\mathbf{b}+(-1+2\lambda)\mathbf{c} \end{aligned} $$

となる。

一方、$Q$ は直線 $AB$ 上にあるから、$\mathbf{c}$ の係数は $0$ でなければならない。よって、

$$ -1+2\lambda=0 $$

より、

$$ \lambda=\frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ \vec{AQ}=(6-6\cdot \frac{1}{2})\mathbf{b}=3\mathbf{b} $$

となる。ゆえに、

$$ \vec{AQ}=3\vec{AB} $$

である。

(2)

$\mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c}$ より、

$$ \vec{AP}=6\vec{AB}-\vec{AC} $$

である。これは点 $P$ の重心座標が

$$ P=-4A+6B-C $$

であることを意味する。実際、

$$ -4+6-1=1 $$

であり、点 $A$ を原点とすると

$$ -4\vec{AA}+6\vec{AB}-\vec{AC}=6\vec{AB}-\vec{AC} $$

となる。

重心座標において、点 $P$ の係数の絶対値は、それぞれ対応する三角形の面積比を表す。すなわち、

$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = |-4|:|6|:|-1| $$

である。したがって、

$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=4:6:1 $$

となる。

(3)

$\angle BAC$ を $\theta$ とし、

$$ |\vec{AB}|=a,\quad |\vec{AC}|=b,\quad \cos\theta=x $$

とおく。ただし $a>0,\ b>0$ である。

まず、直線 $AB$ と直線 $PC$ が直交する。直線 $PC$ の方向ベクトルは

$$ \vec{PC}=\vec{AC}-\vec{AP} $$

であるから、

$$ \vec{PC}=\mathbf{c}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})=2\mathbf{c}-6\mathbf{b} $$

である。よって直交条件より、

$$ \mathbf{b}\cdot(2\mathbf{c}-6\mathbf{b})=0 $$

である。整理すると、

$$ 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}-6|\mathbf{b}|^2=0 $$

より、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=3|\mathbf{b}|^2 $$

である。したがって、

$$ abx=3a^2 $$

となり、$a>0$ より、

$$ bx=3a $$

を得る。

次に、直線 $AC$ と直線 $PB$ が直交する。直線 $PB$ の方向ベクトルは

$$ \vec{PB}=\vec{AB}-\vec{AP} $$

であるから、

$$ \vec{PB}=\mathbf{b}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})=\mathbf{c}-5\mathbf{b} $$

である。よって直交条件より、

$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{c}-5\mathbf{b})=0 $$

である。整理すると、

$$ |\mathbf{c}|^2-5\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

より、

$$ b^2=5abx $$

である。$b>0$ より、

$$ b=5ax $$

を得る。

以上より、

$$ bx=3a,\quad b=5ax $$

である。$b=5ax$ を $bx=3a$ に代入すると、

$$ 5ax^2=3a $$

であり、$a>0$ だから、

$$ x^2=\frac{3}{5} $$

となる。

また、$b=5ax$ で $a>0,\ b>0$ であるから、$x>0$ である。したがって、

$$ x=\sqrt{\frac{3}{5}} $$

である。

ゆえに、

$$ \cos\angle BAC=\sqrt{\frac{3}{5}} $$

である。

解説

この問題の中心は、点 $A$ を基準にして $\vec{AP}$ を $\vec{AB},\vec{AC}$ で表すことである。

$$ \vec{AP}=6\vec{AB}-\vec{AC} $$

が得られれば、(1) は直線上の点のパラメータ表示、(2) は重心座標と面積比、(3) は直交条件を内積で表すことで処理できる。

特に (2) では、係数 $6,-1$ だけを見るのではなく、重心座標として

$$ P=-4A+6B-C $$

と見直す必要がある。このとき、面積比は係数の絶対値で

$$ 4:6:1 $$

となる。

答え

(1)

$$ \vec{AQ}=3\vec{AB} $$

(2)

$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=4:6:1 $$

(3)

$$ \cos\angle BAC=\sqrt{\frac{3}{5}} $$