トップ› 基礎問題› 数学C› 空間ベクトル› 空間のメネラウスの定理› 問題 3

数学C 空間のメネラウスの定理問題 3 解説

方針・初手

四面体 $OABC$ では、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。したがって、点を $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数で表し、線分 $PQ$ 上の点と線分 $RS$ 上の点が一致する条件を係数比較で求めればよい。

解法1

点 $P,Q,R,S$ の位置ベクトルを求める。

$P$ は $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec a $$

である。

$Q$ は $BC$ を $2:1$ に内分する点であるから、$BQ:QC=2:1$ より、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{1\cdot \vec b+2\cdot \vec c}{3} =\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c $$

である。よって、

$$ \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =-\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c $$

である。

次に、$R$ は $OC$ を $1:3$ に内分する点であるから、$OR:RC=1:3$ より、

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{1}{4}\vec c $$

である。

また、$S$ は $AB$ を $s:(1-s)$ に内分する点であるから、$AS:SB=s:(1-s)$ より、

$$ \overrightarrow{OS} =(1-s)\vec a+s\vec b $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{RS} =\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR} =(1-s)\vec a+s\vec b-\frac{1}{4}\vec c $$

となる。

線分 $PQ$ と線分 $RS$ が交わるとする。線分 $PQ$ 上の点は、ある $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{PQ} \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

と表せる。また、線分 $RS$ 上の点は、ある $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR}+u\overrightarrow{RS} \qquad (0\leqq u\leqq 1) $$

と表せる。

まず、線分 $PQ$ 上の点は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{PQ} &=\frac{1}{2}\vec a +t\left(-\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c\right)\\ &=\frac{1-t}{2}\vec a+\frac{t}{3}\vec b+\frac{2t}{3}\vec c \end{aligned} $$

である。

一方、線分 $RS$ 上の点は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR}+u\overrightarrow{RS} &=\frac{1}{4}\vec c +u\left((1-s)\vec a+s\vec b-\frac{1}{4}\vec c\right)\\ &=u(1-s)\vec a+us\vec b+\frac{1-u}{4}\vec c \end{aligned} $$

である。

この2点が一致するためには、$\vec a,\vec b,\vec c$ の一次独立性より、各係数が等しいことが必要十分である。よって、

$$ \begin{cases} \dfrac{1-t}{2}=u(1-s)\\ \dfrac{t}{3}=us\\ \dfrac{2t}{3}=\dfrac{1-u}{4} \end{cases} $$

を解けばよい。

第3式より、

$$ \frac{2t}{3}=\frac{1-u}{4} $$

であるから、

$$ 8t=3(1-u) $$

すなわち

$$ u=1-\frac{8}{3}t $$

である。

また、第1式と第2式を加えると、

$$ \frac{1-t}{2}+\frac{t}{3}=u(1-s)+us=u $$

である。したがって、

$$ u=\frac{1-t}{2}+\frac{t}{3} =\frac{3-t}{6} $$

である。

これと $u=1-\dfrac{8}{3}t$ を等置して、

$$ \frac{3-t}{6}=1-\frac{8}{3}t $$

となる。両辺に $6$ をかけると、

$$ 3-t=6-16t $$

より、

$$ 15t=3 $$

したがって、

$$ t=\frac{1}{5} $$

である。このとき、

$$ u=\frac{3-\frac{1}{5}}{6} =\frac{\frac{14}{5}}{6} =\frac{7}{15} $$

である。

第2式

$$ \frac{t}{3}=us $$

に $t=\dfrac{1}{5},u=\dfrac{7}{15}$ を代入すると、

$$ \frac{1}{15}=\frac{7}{15}s $$

より、

$$ s=\frac{1}{7} $$

である。

このとき $0<s<1$ を満たし、また $0\leqq t\leqq 1,\ 0\leqq u\leqq 1$ も満たすので、確かに線分 $PQ$ と線分 $RS$ は交わる。

解説

内分点の位置ベクトルを正しく置くことが第一のポイントである。特に、$BQ:QC=2:1$ のとき

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c $$

となり、比の係数が反対側の端点にかかる点に注意する。

線分どうしの交点条件では、線分 $PQ$ 上の点を $\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{PQ}$、線分 $RS$ 上の点を $\overrightarrow{OR}+u\overrightarrow{RS}$ と置く。四面体の3辺方向 $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立なので、ベクトルの一致は係数比較に帰着できる。