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数学C 空間のメネラウスの定理問題 4 解説

方針・初手

点 $A_0,B_0,P,Q$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の一次結合で表す。$O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。したがって、係数比較によって共面条件を式にできる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

$A_0$ は $OA$ の中点、$B_0$ は $OB$ を $1:2$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OA_0}=\frac{1}{2}\mathbf{a},\qquad \overrightarrow{OB_0}=\frac{1}{3}\mathbf{b} $$

である。

また、$P$ は $AC$ を $s:(1-s)$ に内分する点、$Q$ は $BC$ を $t:(1-t)$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c},\qquad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} $$

である。

4点 $A_0,B_0,P,Q$ が同一平面上にあるので、ある実数 $x,y,z$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} =x\overrightarrow{OA_0} +y\overrightarrow{OB_0} +z\overrightarrow{OP}, \qquad x+y+z=1 $$

と表せる。

これを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数で比較すると、

$$ (1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} = x\cdot\frac{1}{2}\mathbf{a} +y\cdot\frac{1}{3}\mathbf{b} +z{(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c}} $$

より、

$$ \begin{cases} 0=\dfrac{x}{2}+z(1-s),\\ 1-t=\dfrac{y}{3},\\ t=zs,\\ x+y+z=1. \end{cases} $$

$t=zs$ より $z=\dfrac{t}{s}$ である。また、

$$ x=-2z(1-s)=-\frac{2t(1-s)}{s},\qquad y=3(1-t) $$

である。

これらを $x+y+z=1$ に代入すると、

$$ -\frac{2t(1-s)}{s}+3(1-t)+\frac{t}{s}=1 $$

となる。整理すると、

$$ t\left(\frac{2s-1}{s}-3\right)=-2 $$

であり、

$$ t\left(-\frac{s+1}{s}\right)=-2 $$

だから、

$$ t=\frac{2s}{s+1} $$

を得る。これが (1) の答えである。

次に (2) を考える。条件より、

$$ |\mathbf{a}|=1,\qquad |\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2 $$

であり、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =1\cdot 2\cos120^\circ=-1 $$

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} =2\cdot 2\cos90^\circ=0 $$

$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{a} =2\cdot 1\cos60^\circ=1 $$

である。

$\angle POQ=90^\circ$ であるから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0 $$

が成り立つ。したがって、

$$ {(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c}}\cdot{(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}}=0 $$

である。

左辺を展開すると、

$$ (1-s)(1-t)\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} +(1-s)t\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} +s(1-t)\mathbf{c}\cdot\mathbf{b} +st\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0 $$

となる。内積の値を代入して、

$$ -(1-s)(1-t)+(1-s)t+4st=0 $$

である。すなわち、

$$ (1-s)(-1+2t)+4st=0 $$

となる。

ここで (1) より $t=\dfrac{2s}{s+1}$ であるから、

$$ (1-s)\left(-1+\frac{4s}{s+1}\right)+4s\cdot\frac{2s}{s+1}=0 $$

となる。整理すると、

$$ (1-s)\frac{3s-1}{s+1}+\frac{8s^2}{s+1}=0 $$

である。$s+1>0$ なので、両辺に $s+1$ をかけて、

$$ (1-s)(3s-1)+8s^2=0 $$

を得る。

これを展開すると、

$$ 3s-1-3s^2+s+8s^2=0 $$

より、

$$ 5s^2+4s-1=0 $$

である。因数分解して、

$$ (5s-1)(s+1)=0 $$

となる。

$0<s<1$ であるから、

$$ s=\frac{1}{5} $$

である。

解説

この問題の中心は、空間内の共面条件をベクトルの一次結合で処理する点である。$O,A,B,C$ が同一平面上にないことから、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が一次独立であり、係数比較が正当化される。

また、内分点の位置ベクトルを正しく書くことが重要である。特に、$AC$ を $s:(1-s)$ に内分する点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OC} $$

であり、係数の順序を逆にしないよう注意する。

(2)

では、$\angle POQ=90^\circ$ を $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$ に置き換える。与えられた長さと角度から内積を計算し、（1）で得た $t=\dfrac{2s}{s+1}$ を代入すれば、$s$ の二次方程式に帰着する。