数学C 空間ベクトル問題 3 解説

方針・初手

ベクトル $\overrightarrow{OA}$ $\overrightarrow{OB}$ を成分で表し、内積から角の余弦を求める。

平行四辺形の面積は外積の大きさで求められる。また、$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OA}$ $\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直であることから、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$ に平行である。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{OA}=(1,2,3),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,-1,4) $$

である。

(1)

$\angle AOB=\theta$ より、

$$ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} $$

である。

内積は、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =1\cdot 2+2\cdot(-1)+3\cdot 4 =2-2+12 =12 $$

である。また、

$$ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14} $$

$$ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{21} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{21}}\\ &= \frac{12}{\sqrt{294}}\\ &= \frac{12}{7\sqrt{6}}\\ &= \frac{2\sqrt{6}}{7} \end{aligned} $$

となる。

(2)

線分 $OA$ と線分 $OB$ を $2$ 辺とする平行四辺形の面積 $S$ は、

$$ S=|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}| $$

である。

外積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} &= (1,2,3)\times(2,-1,4)\\ &= (2\cdot 4-3\cdot(-1),\ 3\cdot 2-1\cdot 4,\ 1\cdot(-1)-2\cdot 2)\\ &= (11,2,-5) \end{aligned} $$

である。よって、

$$ S = \sqrt{11^2+2^2+(-5)^2} \sqrt{121+4+25} \sqrt{150} 5\sqrt{6} $$

である。

(3)

$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OA}$ $\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直であるから、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$ に平行である。

したがって、ある実数 $t$ を用いて、

$$ \overrightarrow{OP}=t(11,2,-5) $$

とおける。

このとき、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OP}| &= |t|\sqrt{11^2+2^2+(-5)^2}\\ &= |t|\cdot 5\sqrt{6} \end{aligned} $$

である。条件 $|\overrightarrow{OP}|=S$ と、(2) で求めた $S=5\sqrt{6}$ より、

$$ |t|\cdot 5\sqrt{6}=5\sqrt{6} $$

となる。したがって、

$$ |t|=1 $$

であり、

$$ t=1,\ -1 $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{OP}=(11,2,-5) $$

または

$$ \overrightarrow{OP}=(-11,-2,5) $$

である。したがって、点 $P$ の座標は、

$$ P=(11,2,-5),\quad (-11,-2,5) $$

である。

解説

この問題は、空間ベクトルの基本事項である「内積」「外積」「垂直条件」を順に使う問題である。

(1)

では、角の余弦を内積の公式で求める。

(2)

では、2つのベクトルがつくる平行四辺形の面積が外積の大きさに等しいことを使う。

(3)

では、$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直であるため、$\overrightarrow{OP}$ はその外積方向に限られる。ただし、外積と反対向きのベクトルも条件を満たすので、点 $P$ は2つ存在する。