数学C 空間ベクトル問題 4 解説

方針・初手

正四面体の各面は1辺の長さが $1$ の正三角形である。したがって、同じ頂点 $O$ から出る3本の辺に対応するベクトル $\vec a,\vec b,\vec c$ は、長さがすべて $1$ で、互いの内積はすべて $\dfrac{1}{2}$ である。

まず中点 $M,N$ の位置ベクトルを表し、そこから $\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{BN}$ を求める。

解法1

正四面体 $OABC$ の1辺の長さは $1$ なので、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

である。また、三角形 $OAB, OBC, OCA$ はすべて正三角形であるから、

$$ \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\frac{1}{2} $$

である。

(1)

$M$ は $AB$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b}{2} $$

である。また、$N$ は $OC$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{ON}=\frac{\vec c}{2} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} \\ &=\frac{\vec c}{2}-\frac{\vec a+\vec b}{2} \\ &=\frac{1}{2}(\vec c-\vec a-\vec b) \end{aligned} $$

となる。

(2)

まず、

$$ \overrightarrow{BN} =\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB} =\frac{\vec c}{2}-\vec b $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BN} &=\frac{1}{2}(\vec c-\vec a-\vec b)\cdot\left(\frac{\vec c}{2}-\vec b\right) \end{aligned} $$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} (\vec c-\vec a-\vec b)\cdot\left(\frac{\vec c}{2}-\vec b\right) &=\frac{1}{2}\vec c\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec b-\frac{1}{2}\vec a\cdot\vec c+\vec a\cdot\vec b-\frac{1}{2}\vec b\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec b \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+1 \\ &=1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BN} =\frac{1}{2} $$

である。

(3)

$\angle BNM$ は、頂点が $N$ であり、2つの辺は $\overrightarrow{NB}$ と $\overrightarrow{NM}$ で表される。ここで、

$$ \overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{BN},\qquad \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{NB}\cdot\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2} $$

である。

次に、それぞれの長さを求める。

まず、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{MN}|^2 &=\left|\frac{1}{2}(\vec c-\vec a-\vec b)\right|^2 \\ &=\frac{1}{4}|\vec c-\vec a-\vec b|^2 \end{aligned} $$

である。ここで、

$$ \begin{aligned} |\vec c-\vec a-\vec b|^2 &=(\vec c-\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec a-\vec b) \\ &=|\vec c|^2+|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec c\cdot\vec a-2\vec c\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec b \\ &=1+1+1-2\cdot\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2} \\ &=2 \end{aligned} $$

よって、

$$ |\overrightarrow{MN}|=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BN}|^2 &=\left|\frac{\vec c}{2}-\vec b\right|^2 \\ &=\frac{1}{4}|\vec c|^2-\vec c\cdot\vec b+|\vec b|^2 \\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1 \\ &=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

したがって、

$$ |\overrightarrow{BN}|=\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

ゆえに、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &=\frac{\overrightarrow{NB}\cdot\overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{NB}||\overrightarrow{NM}|} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}} \\ &=\frac{2}{\sqrt6} \\ &=\frac{\sqrt6}{3} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、中点の位置ベクトルを正しく表すことが最初の要点である。$M$ は $AB$ の中点なので $\overrightarrow{OM}=\dfrac{\vec a+\vec b}{2}$、$N$ は $OC$ の中点なので $\overrightarrow{ON}=\dfrac{\vec c}{2}$ となる。

また、正四面体では、$\vec a,\vec b,\vec c$ のなす角がすべて $60^\circ$ になるため、内積はすべて $\dfrac{1}{2}$ である。この性質を使えば、空間図形の角度も通常のベクトルの内積計算として処理できる。

$\angle BNM$ では、使うべきベクトルは本来 $\overrightarrow{NB}$ と $\overrightarrow{NM}$ である。ただし、どちらも $\overrightarrow{BN},\overrightarrow{MN}$ の符号を反対にしたものなので、内積の値はそのまま使える。