数学C 空間ベクトル 問題 5 解説

方針・初手

各点の座標はすべて $G=(a,a,a)$ からのずれとして見ると扱いやすい。まず $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}$ を求めて角度を出す。次に重心 $G$ の座標を求め、内積で $\overrightarrow{OG}$ と $\overrightarrow{GA}$ のなす角を調べる。体積は、三角形 $ABC$ を底面とし、原点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離を高さとして求める。

解法1

まず、点の座標は

$$ A(a-1,a,a+1),\quad B(a,a+1,a-1),\quad C(a+1,a-1,a) $$

である。

$\angle ABC$ を求める

$\angle ABC$ は、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ のなす角である。

$$ \overrightarrow{BA} =A-B =(-1,-1,2) $$

$$ \overrightarrow{BC} =C-B =(1,-2,1) $$

したがって、

$$ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =(-1)\cdot 1+(-1)\cdot(-2)+2\cdot 1 =3 $$

また、

$$ |\overrightarrow{BA}| =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2} =\sqrt{6} $$

$$ |\overrightarrow{BC}| =\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{6} $$

よって、$\angle ABC=\theta$ とすると、

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}} \begin{aligned} {|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} &= \frac{3}{\sqrt6\sqrt6}\\ &= \frac12 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \theta=60^\circ $$

である。

$\overrightarrow{OG}$ と $\overrightarrow{GA}$ のなす角を求める

三角形 $ABC$ の重心 $G$ は、各座標の平均であるから、

$$ G = \left( \frac{(a-1)+a+(a+1)}{3}, \frac{a+(a+1)+(a-1)}{3}, \frac{(a+1)+(a-1)+a}{3} \right) = (a,a,a) $$

よって、

$$ \overrightarrow{OG}=(a,a,a) $$

また、

$$ \overrightarrow{GA} =A-G =(a-1,a,a+1)-(a,a,a) =(-1,0,1) $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{GA} = (a,a,a)\cdot(-1,0,1) -a+0+a 0 $$

ここで $a>0$ より、$\overrightarrow{OG}\ne \vec{0}$ であり、また $\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ である。内積が $0$ なので、両ベクトルは垂直である。

よって、$\overrightarrow{OG}$ と $\overrightarrow{GA}$ のなす角は

$$ 90^\circ $$

である。

四面体 $OABC$ の体積を求める

まず、三角形 $ABC$ の一辺の長さを求める。

すでに

$$ |\overrightarrow{BA}|=\sqrt6,\quad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt6 $$

であり、さらに

$$ \overrightarrow{CA} =A-C =(-2,1,1) $$

より、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}\\ &= \sqrt6 \end{aligned} $$

したがって、三角形 $ABC$ は一辺 $\sqrt6$ の正三角形である。

よって、その面積は

$$ \begin{aligned} S_{ABC} &= \frac{\sqrt3}{4}(\sqrt6)^2\\ &= \frac{3\sqrt3}{2} \end{aligned} $$

である。

次に、平面 $ABC$ の方程式を求める。点 $A,B,C$ はいずれも座標の和が

$$ (a-1)+a+(a+1)=3a $$

$$ a+(a+1)+(a-1)=3a $$

$$ (a+1)+(a-1)+a=3a $$

であるから、平面 $ABC$ は

$$ x+y+z=3a $$

である。

原点 $O(0,0,0)$ からこの平面までの距離 $h$ は

$$ h = \frac{|0+0+0-3a|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} \frac{3a}{\sqrt3} a\sqrt3 $$

である。

したがって、四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$$ V = \frac13 S_{ABC}h \frac13\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot a\sqrt3 \frac{3a}{2} $$

である。

解説

この問題では、3点 $A,B,C$ が $G=(a,a,a)$ を中心として対称的に配置されていることに気づくと計算が短くなる。

$\angle ABC$ は、座標空間の角度であっても平面図形と同じく、2本のベクトルの内積で求めればよい。また、重心 $G$ を求めると $G=(a,a,a)$ となり、$\overrightarrow{GA}=(-1,0,1)$ との内積がすぐに $0$ になる。

体積は行列式で求めてもよいが、この問題では平面 $ABC$ が $x+y+z=3a$ と簡単に表せるため、底面積と高さから求める方が見通しがよい。

答え

(1)

$$ \angle ABC=60^\circ $$

(2)

$$ \overrightarrow{OG}\text{ と }\overrightarrow{GA}\text{ のなす角は }90^\circ $$

(3)

$$ \frac{3a}{2} $$