数学C 空間ベクトル 問題 14 解説

方針・初手

3点が空間内にあるので、角はベクトルの内積、面積は外積または「2辺とその間の角」から求める。まず $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

解法1

点

$$ A(1,1,4),\quad B(2,1,5),\quad C(3,-1,8) $$

より、

$$ \overrightarrow{AB}=(2-1,\ 1-1,\ 5-4)=(1,0,1) $$

$$ \overrightarrow{AC}=(3-1,\ -1-1,\ 8-4)=(2,-2,4) $$

である。

まず $\angle BAC$ は、2つのベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角である。内積を用いると、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} =1\cdot 2+0\cdot(-2)+1\cdot 4 =6 $$

また、

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2} $$

$$ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2} =\sqrt{24} =2\sqrt{6} $$

である。

したがって、

$$ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} \begin{aligned} {|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} &= \frac{6}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}}\\ &= \frac{6}{4\sqrt{3}}\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \angle BAC=30^\circ $$

である。

次に、三角形 $ABC$ の面積を求める。2辺 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ とその間の角を用いると、

$$ \triangle ABC = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \angle BAC $$

である。ここで $\angle BAC=30^\circ$ より、

$$ \sin 30^\circ=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \triangle ABC &= \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{12}\cdot \frac{1}{2}\\ &= \sqrt{3} \end{aligned} $$

となる。

解法2

面積は外積を用いて求めてもよい。

$$ \overrightarrow{AB}=(1,0,1),\quad \overrightarrow{AC}=(2,-2,4) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (2,-2,-2) $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| &= \sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}\\ &= \sqrt{12}\\ &= 2\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。

外積の大きさは、2辺がつくる平行四辺形の面積を表すので、三角形 $ABC$ の面積はその半分である。

$$ \begin{aligned} \triangle ABC &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|\\ &= \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\\ &= \sqrt{3} \end{aligned} $$

解説

空間内の3点から角や面積を求める問題では、まず1つの頂点を基準にして2本のベクトルを作ることが重要である。

角は内積公式

$$ \cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} $$

を使う。面積は、角が分かっているなら

$$ \frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta $$

を使えばよい。

また、空間ベクトルでは外積を使うと面積を直接求められる。特に計算ミスを避けたい場合、角は内積、面積は外積という分担で処理すると安定する。

答え

$$ \angle BAC=30^\circ $$

$$ \triangle ABC \text{ の面積}=\sqrt{3} $$