数学C 空間ベクトル 問題 18 解説

方針・初手

空間での対称移動は、どの座標が符号反転するかに注目する。

$z$軸に関して対称な点では、$z$座標はそのままで、$x,y$座標の符号が反転する。$xy$平面に関して対称な点では、$x,y$座標はそのままで、$z$座標の符号が反転する。

解法1

点 $P$ の座標は

$$ P(-2,-3,-1) $$

である。

(1)

$z$軸に関して対称な点を考える。

$z$軸に関する対称では、点 $(x,y,z)$ は

$$ (x,y,z)\mapsto (-x,-y,z) $$

に移る。

したがって、点 $P(-2,-3,-1)$ に対して

$$ Q=(2,3,-1) $$

である。

(2)

$xy$平面に関して対称な点を考える。

$xy$平面に関する対称では、点 $(x,y,z)$ は

$$ (x,y,z)\mapsto (x,y,-z) $$

に移る。

したがって、点 $P(-2,-3,-1)$ に対して

$$ R=(-2,-3,1) $$

である。

(3)

三角形 $PQR$ の面積を求める。

まず、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= Q-P\\ &= (2-(-2),3-(-3),-1-(-1))\\ &= (4,6,0) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= R-P\\ &= (-2-(-2),-3-(-3),1-(-1))\\ &= (0,0,2) \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR} &= 4\cdot 0+6\cdot 0+0\cdot 2\\ &= 0 \end{aligned} $$

より、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ は垂直である。

したがって、三角形 $PQR$ の面積は

$$ \frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}|,|\overrightarrow{PR}| $$

で求められる。

それぞれの長さは

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}| &= \sqrt{4^2+6^2+0^2}\\ &= \sqrt{52}\\ &= 2\sqrt{13} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{0^2+0^2+2^2}\\ &= 2 \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot 2 = 2\sqrt{13} $$

である。

解説

軸に関する対称と平面に関する対称では、符号が変わる座標が異なる。

$z$軸に関して対称な点では、$z$軸から見て反対側に移るため、$x,y$座標がともに符号反転する。一方、$xy$平面に関して対称な点では、上下が反転するだけなので、$z$座標のみが符号反転する。

面積は、2本の辺を表すベクトルを作ってから考えるとよい。本問では $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ が垂直になるため、直角三角形として面積を求められる。

答え

(1)

$$ Q=(2,3,-1) $$

(2)

$$ R=(-2,-3,1) $$

(3)

$$ 2\sqrt{13} $$