数学C 空間ベクトル 問題 17 解説

方針・初手

線分 $AB$ 上の点と線分 $OP$ 上の点をそれぞれ媒介変数で表し、同じ点になる条件を連立方程式として解く。

線分であることを確認するため、最後に媒介変数が $0$ 以上 $1$ 以下に入ることを確かめる。

解法1

線分 $AB$ 上の点を $s$ を用いて表す。$0 \leqq s \leqq 1$ として、

$$ A+s(B-A) =(0,1,2)+s(2,2,-2) =(2s,1+2s,2-2s) $$

である。

一方、線分 $OP$ 上の点は、$0 \leqq u \leqq 1$ として、

$$ uP=u(5+t,9+2t,5+3t) $$

と表せる。

したがって、線分 $OP$ と線分 $AB$ が交点をもつためには、ある $s,u,t$ について

$$ (2s,1+2s,2-2s)=u(5+t,9+2t,5+3t) $$

となればよい。成分を比較すると、

$$ \begin{cases} 2s=u(5+t) \\ 1+2s=u(9+2t) \\ 2-2s=u(5+3t) \end{cases} $$

を得る。

第2式から第1式を引くと、

$$ 1=u{(9+2t)-(5+t)}=u(4+t) $$

である。また、第3式から第1式を引くと、

$$ 2-4s=u{(5+3t)-(5+t)}=2ut $$

となる。

ここで第1式より $2s=u(5+t)$ であるから、これを $2-4s=2ut$ に代入すると、

$$ 2-2u(5+t)=2ut $$

すなわち

$$ 1=u(5+2t) $$

である。

したがって、

$$ u(4+t)=1,\qquad u(5+2t)=1 $$

が成り立つ。よって

$$ u(4+t)=u(5+2t) $$

であり、交点が原点でないので $u \neq 0$ であるから、

$$ 4+t=5+2t $$

となる。これより

$$ t=-1 $$

を得る。

このとき

$$ u(4+t)=u\cdot 3=1 $$

より、

$$ u=\frac{1}{3} $$

である。また第1式から

$$ 2s=u(5+t)=\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} $$

となるので、

$$ s=\frac{2}{3} $$

である。

ここで

$$ 0 \leqq \frac{2}{3} \leqq 1,\qquad 0 \leqq \frac{1}{3} \leqq 1 $$

であるから、得られた点は確かに線分 $AB$ 上かつ線分 $OP$ 上にある。

交点の座標は、線分 $AB$ 上の点として

$$ (2s,1+2s,2-2s) = \left(\frac{4}{3},1+\frac{4}{3},2-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{4}{3},\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right) $$

である。

また、$t=-1$ のとき

$$ P=(4,7,2) $$

であり、

$$ \frac{1}{3}P = \left(\frac{4}{3},\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right) $$

となるので、線分 $OP$ 上にあることも直接確認できる。

解説

この問題では、直線ではなく線分の交点を扱っているため、単に連立方程式を解くだけでは不十分である。得られた媒介変数 $s,u$ がともに $0$ 以上 $1$ 以下であることを確認して初めて、線分どうしが交わるといえる。

計算上は、線分 $AB$ 上の点を $s$、線分 $OP$ 上の点を $u$ で表すのが最も自然である。$t$ は点 $P$ の位置を決めるパラメータなので、$s,u,t$ の3つを未知数として成分比較すればよい。

答え

$t=-1$ のとき、線分 $OP$ と線分 $AB$ は交点をもつ。

その交点の座標は

$$ \left(\frac{4}{3},\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right) $$

である。