数学C 空間ベクトル 問題 20 解説

方針・初手

点 $P$ が直線 $BC$ 上にあるので、$P$ の位置は $\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$ とおける。したがって、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ の長さと内積を求め、その後は

$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

を用いて条件を式に直す。

解法1

まず、各ベクトルは

$$ \overrightarrow{AB}=(1,1,0),\qquad \overrightarrow{BC}=(-2,-2,1) $$

である。

よって

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2} $$

また、

$$ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=3 $$

さらに、内積は

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =1\cdot(-2)+1\cdot(-2)+0\cdot1 =-4 $$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{AC}=(-1,-1,1) $$

であり、

$$ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =(-1,-1,1)-(1,1,0) =(-2,-2,1) =\overrightarrow{BC} $$

である。したがって

$$ (1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) =\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

となるので、$[④]=t$ である。

次に、$\angle BAP=90^\circ$ となる条件は

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=0 $$

である。ここで

$$ \overrightarrow{AP} =\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

だから、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} =\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}) =|\overrightarrow{AB}|^2+t(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}) $$

である。すでに求めた値を代入すると

$$ 2-4t=0 $$

より

$$ t=\frac{1}{2} $$

である。

次に、$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|$ となる条件を考える。

点 $P$ は

$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

で表されるから、

$$ \overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC} $$

である。よって、両辺を2乗して

$$ |\overrightarrow{AP}|^2=|\overrightarrow{BP}|^2 $$

を考える。

まず

$$ |\overrightarrow{AP}|^2 =|\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}|^2 =|\overrightarrow{AB}|^2+2t(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC})+t^2|\overrightarrow{BC}|^2 $$

であるから、

$$ |\overrightarrow{AP}|^2 =2+2t(-4)+9t^2 =9t^2-8t+2 $$

である。また、

$$ |\overrightarrow{BP}|^2 =|t\overrightarrow{BC}|^2 =9t^2 $$

である。したがって

$$ 9t^2-8t+2=9t^2 $$

より

$$ -8t+2=0 $$

となるので、

$$ t=\frac{1}{4} $$

である。

最後に、$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AP}|$ かつ $P\ne B$ となる条件を考える。

両辺を2乗すると

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AP}|^2 $$

である。すなわち

$$ 2=9t^2-8t+2 $$

であるから、

$$ 9t^2-8t=0 $$

となる。よって

$$ t(9t-8)=0 $$

より

$$ t=0,\ \frac{8}{9} $$

である。

ただし、$t=0$ のときは $\overrightarrow{BP}=\vec{0}$ となり $P=B$ である。条件 $P\ne B$ より、これは除く。

したがって

$$ t=\frac{8}{9} $$

である。

解説

この問題では、直線 $BC$ 上の点 $P$ を

$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

と表すことが中心である。

あとは、直角条件は内積が $0$、長さが等しい条件は両辺を2乗して処理すればよい。特に最後の条件では $t=0$ も方程式の解として出るが、このとき $P=B$ であるため、問題文の $P\ne B$ により除外する必要がある。

答え

$$ [①]=\sqrt{2},\qquad [②]=3,\qquad [③]=-4 $$

$$ [④]=t $$

$$ [⑤]=\frac{1}{2} $$

$$ [⑥]=\frac{1}{4} $$

$$ [⑦]=\frac{8}{9} $$