数学C 空間ベクトル問題 21 解説

方針・初手

角 $\angle AOC,\angle BOC$ は、それぞれベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ および $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ のなす角である。まず内積の公式から $p,q$ と $|\overrightarrow{OC}|$ の関係を作る。

その後、三角形の面積は外積で求め、点と平面の距離として $OH$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=(3,0,0),\overrightarrow{OB}=(0,2,0),\overrightarrow{OC}=(p,q,2)$ とする。また

$$ |\overrightarrow{OC}|=r $$

とおく。

まず $\angle AOC=45^\circ$ より、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos45^\circ $$

である。左辺は $3p$、右辺は

$$ 3r\cdot \frac{\sqrt2}{2} $$

だから、

$$ 3p=\frac{3r}{\sqrt2} $$

より

$$ p=\frac{r}{\sqrt2} $$

を得る。

また、$\angle BOC=60^\circ$ より、

$$ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|\cos60^\circ $$

である。左辺は $2q$、右辺は

$$ 2r\cdot \frac{1}{2}=r $$

だから、

$$ 2q=r $$

より

$$ q=\frac{r}{2} $$

を得る。

一方で、

$$ r^2=p^2+q^2+2^2 $$

であるから、

$$ r^2=\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2+4 $$

となる。整理すると、

$$ r^2=\frac{r^2}{2}+\frac{r^2}{4}+4 $$

すなわち

$$ \frac{r^2}{4}=4 $$

である。よって $r>0$ より

$$ r=4 $$

である。したがって、

$$ p=2\sqrt2,\qquad q=2 $$

となる。

次に三角形 $ABC$ の面積を求める。いま

$$ A=(3,0,0),\quad B=(0,2,0),\quad C=(2\sqrt2,2,2) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AB}=(-3,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(2\sqrt2-3,2,2) $$

である。

外積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} &= (-3,2,0)\times(2\sqrt2-3,2,2)\\ &=(4,6,-4\sqrt2) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{4^2+6^2+(-4\sqrt2)^2}\\ &= \sqrt{16+36+32}\\ &= 2\sqrt{21} \end{aligned} $$

となる。よって三角形 $ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{21}=\sqrt{21} $$

である。

最後に、原点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ $OH$ を求める。

平面 $ABC$ の法線ベクトルとして

$$ (4,6,-4\sqrt2) $$

を用いることができる。これを $2$ で割って、

$$ (2,3,-2\sqrt2) $$

を法線ベクトルとしてよい。

平面 $ABC$ は点 $A(3,0,0)$ を通るので、

$$ 2(x-3)+3(y-0)-2\sqrt2(z-0)=0 $$

すなわち

$$ 2x+3y-2\sqrt2z-6=0 $$

である。

点 $O(0,0,0)$ と平面

$$ 2x+3y-2\sqrt2z-6=0 $$

との距離は、

$$ \frac{|2\cdot0+3\cdot0-2\sqrt2\cdot0-6|} \begin{aligned} {\sqrt{2^2+3^2+(-2\sqrt2)^2}} &= \frac{6}{\sqrt{4+9+8}}\\ &= \frac{6}{\sqrt{21}} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ OH=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{7} $$

となる。