数学C 空間ベクトル 問題 25 解説

方針・初手

4直線の方向ベクトルをとる。空間内の4本の方向ベクトルは必ず一次従属になるが、「どの3直線も同一平面上にない」ことから、任意の3本の方向ベクトルは一次独立である。

この一次従属関係を使って、各直線上に1点ずつ選び、それらの位置ベクトルが平行四辺形の条件を満たすように構成する。

解法1

4直線を $l_1,l_2,l_3,l_4$ とし、それぞれの方向ベクトルを

$$ \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d} $$

とする。ただし、いずれも零ベクトルではない。

どの3直線も同一平面上にないので、特に $l_1,l_2,l_3$ は同一平面上にない。したがって、$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立である。

よって、$\mathbf{d}$ は $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ の一次結合として一意的に表される。すなわち、ある実数 $\alpha,\beta,\gamma$ を用いて

$$ \mathbf{d}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c} $$

と書ける。

ここで $\alpha,\beta,\gamma$ はすべて $0$ でない。実際、例えば $\alpha=0$ なら

$$ \mathbf{d}=\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c} $$

となり、$\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ が一次従属になる。これは $l_2,l_3,l_4$ が同一平面上にあることを意味し、仮定に反する。$\beta=0,\gamma=0$ の場合も同様である。

そこで、4直線上の点 $A,B,C,D$ を、それぞれの位置ベクトルが

$$ \overrightarrow{OA}=\alpha\mathbf{a},\quad \overrightarrow{OB}=-\beta\mathbf{b},\quad \overrightarrow{OC}=\gamma\mathbf{c},\quad \overrightarrow{OD}=\mathbf{d} $$

となるように定める。

$\alpha,\beta,\gamma$ はすべて $0$ でないから、$A,B,C$ はいずれも $O$ とは異なる。また $\mathbf{d}\neq \mathbf{0}$ であるから、$D$ も $O$ とは異なる。

このとき

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \alpha\mathbf{a}+\gamma\mathbf{c} $$

であり、一方

$$ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} = -\beta\mathbf{b}+(\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c}) \alpha\mathbf{a}+\gamma\mathbf{c} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} $$

が成り立つ。

これは、線分 $AC$ と $BD$ の中点が一致することを意味する。よって、4点 $A,B,C,D$ は、$A,C$ を一組の対頂点、$B,D$ をもう一組の対頂点とする平行四辺形の頂点である。

次に、この平行四辺形が載る平面を $\Pi$ とする。$A,B,C$ が一直線上にあるとすると、その直線と点 $O$ を含む平面が存在し、その平面は $l_1,l_2,l_3$ をすべて含む。これは $l_1,l_2,l_3$ が同一平面上にないという仮定に反する。

したがって $A,B,C$ は一直線上になく、平行四辺形は1つの平面 $\Pi$ を定める。

さらに、$\Pi$ は $O$ を含まない。もし $\Pi$ が $O$ を含むなら、$\Pi$ は $O$ と $A,B,C$ を含むので、直線 $l_1,l_2,l_3$ をすべて含むことになる。これは仮定に反する。

よって、$\Pi$ は $O$ を通らない平面である。

また、$A,B,C,D$ はそれぞれ $l_1,l_2,l_3,l_4$ 上の $O$ 以外の点であるから、平面 $\Pi$ は4直線のいずれとも $O$ 以外の点で交わる。そして、その4つの交点は平行四辺形の頂点である。

以上により、求める平面が存在することが示された。

解説

核心は、4本の直線の方向ベクトルが空間内の4本のベクトルであるため一次従属になることと、任意の3本は同一平面上にないため一次独立になることを組み合わせる点である。

平行四辺形の条件は、位置ベクトルで

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} $$

と書ける。これは対角線の中点が一致するという条件である。

一次従属関係

$$ \mathbf{d}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c} $$

から、符号をうまく調整して

$$ \alpha\mathbf{a}+\gamma\mathbf{c} = -\beta\mathbf{b}+\mathbf{d} $$

を作ることで、4本の直線上に平行四辺形の4頂点を直接構成できる。

最後に、その平行四辺形のある平面が $O$ を通らないことを確認する必要がある。ここを省くと、問題文の「$O$ 以外の点で交わる平面」という条件を満たしたことにならない。

答え

4直線の方向ベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ とすると、ある $0$ でない実数 $\alpha,\beta,\gamma$ により

$$ \mathbf{d}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c} $$

と書ける。

各直線上に

$$ \overrightarrow{OA}=\alpha\mathbf{a},\quad \overrightarrow{OB}=-\beta\mathbf{b},\quad \overrightarrow{OC}=\gamma\mathbf{c},\quad \overrightarrow{OD}=\mathbf{d} $$

となる点を取ると、

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} $$

が成り立つため、$A,B,C,D$ は平行四辺形の頂点である。

この平行四辺形を含む平面は $O$ を通らないので、求める平面が存在する。